Лекция 13

 

Частотные методы исследования устойчивости.

 

Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней полинома Р(р)и годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. графиком комплексно-значной функции Р(jw)при изменении wот 0 до ¥.

Основным теоретическим результатом является критерий Михайлова.Этот критерий формулируется в виде условия на полином, а его следствия, например, критерий Найквиста, уже формулируются в виде требований к передаточным функциям, что имеет непосредственное применение.

 

· Необходимое и достаточное условие. Критерий Михайлова

(А.В.Михайлов, Москва 1938г.)

 

Годограф устойчивого полинома n – го порядка с положительными коэффициентами (а_к>0), начинаясь на положительной вещественной полуоси, последовательно проходит n/2 квадрантов, поворачиваясь против часовой стрелки. Приращение аргумента Dj = np / 2 .

Нарушение любой части этого условия приводит к неустойчивости.

 

Это пример устойчивого годографа для полинома порядка 3.

Из критерия Михайлова вытекает простое правило перемежаемости (чередуемости) корней. В самом деле, из рисунка видно, что корни мнимой и вещественных частей при увеличении wсменяют друг друга в строгой последовательности, запишем это условие в явном виде:

;

Найдем корни отдельно вещественной и отдельно мнимой части и расположим их в порядке возрастания : - правило чередования корней.

Применим для полинома третьего порядка :

= ;

Корни : ; ;

: ; ; ;

Условие чередования даёт: т.е a₁ a₂ > a₀ a₃ ,это же вытекает для системы 3 порядка и из критерия Гурвица.

Отметим, что преимущество применения правила перемежаемости – более простые полиномы (только чётного и только нечётного порядка).

 

 

· Критерий устойчивости замкнутой системы - критерий Найквиста.

 

Позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы (всей САУ) по частотной характеристике разомкнутой системы.

Определение: разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи.

Wрс(p) = W(p) Wос(p)

 

АФЧХ разомкнутой САУ имеет вид: Wpc( j)

 

Критерий Найквиста связывает устойчивость замкнутой системы с поведением частотной характеристики и годографа разомкнутой системы. Доказывается с помощью двукратного применения критерия Михайлова:

Один раз - к разомкнутой системе (устойчивой или неустойчивой), другой раз - к замкнутой системе (только устойчивой ).

Если разомкнутая система устойчива, то имеем следующий критерий:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф устойчивой разомкнутой системы “не охватывал” точку

( -1 ; j0 ).

годограф охватывает (-1,,j0) годограф не охватывает (-1,,j0)

 

Уточнение понятия ”охват точки” ( -1 ; j0 ) годографом Найквиста:

Так как понятие охвата является нечетко сформулированным, вводим абсолютно точное правило переходов: