Каноническому виду.
Привидение квадратичной формы к
Поставим задачу: выбрать новую систему координат Х`1OX`2, так чтобы в квадратичной форме от перемены Х`1, X`2 отсутствовал член произведения, то есть он принимал такой вид:
(3) – каноническая форма
Для сокращения записи преобразования будем проводить в матричной форме.
Рассмотрим матрицу – строку 
Имеет место равенство:
x* = x*L-1 (4)
Действительно установлено: 
, отсюда, в силу равенства:
следует:
Подставляем в правую часть равенства (2) выражение для х* и х: х=L-1x` и х*=х*L-1, будем иметь:
F = x*Ax = (x`*L-1)A(Lx`) = x*`(L-1AL)x`
следовательно в новой системе координат матр.-квадратичной формы:
F = x`*(L-1AL)x` A` = L`AL
Введем теперь новую систему координат Х`1OX`2, так чтобы матрица А` приняла следующую форму:
В этом случае говорят что матрица приведена к диагональному виду. При этом квадратичная форма F переменных x`1 и x`2 запишутся в виде уравнения (3). Итак новую систему координат надо выбрать так, чтобы матрица L преобразования удовлетворяла соотношению:
Умножим обе части этого равенства слева на матрицу L:
, отсюда:
(5)
(6)
Таким образом неизвестные коэффициенты преобразования α11, α12, α21, α22 находятся из систем (5) и (6). Каждая из этих систем является однородной. Для того чтобы они имели отличные от 0 решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель каждой из этих систем был равен 0. Таким образом λ1 и λ2 являются корнями уравнения.
(7)
Дискриминант этого квадратного уравнения всегда больше 0 и оно имеет действительные корни. Уравнение (7) называется характеристическим уравнением матрицы А. Корни этого уравнения называются собственными значениями матрицы А. Подставляя найденные из уравнения (7) значения λ1 и λ2 в системы (5) и (6) и решая их, найдем коэффициенты преобразования координат: α11, α12, α21 и α22
Пример:
Привести к каноническому виду квадратичную форму: 
a11=5 a12=a21=2 a22=2
Составим характеристическое уравнени:
Поэтому заданая квадратичная форма приводится к каноническому виду:
Если числа λ1 и λ2 –одного знака, то квадратичная форма (1) принадлежит эллептическому типу.
Если λ1 и λ2 – разных знаков, то к гиперболическому типу.
Если же одно из чисел λ1 и λ2 равно 0, то к параболическому типу.