Расстояние между двумя точками.

Система координат на плоскости.

Требуется найти расстояние d между точкой А(x₁;y₁) и точкой В(х₂;y₂) в плоскости Oxy/

y

B Искомое расстояние АВ((х₂ – х₁); (y₂ – y₁)), то есть

 

 

A

x

 

 

Требуется разделить АВ, соединяющий А(x₁;y₁) и В(х₂;y₂) в заданом отношении λ>0, то есть найти координаты точки М отрезка АВ, такой что

Введем в рассмотрение вектора АМ и МВ. Точка М делит отрезок АВ в отношении λ.

АМ = λМВ (1)

, но АМ((х₂ – х₁); (y₂ – y₁)), то есть АМ=(х – х₁)i+(y – y₁)j и МВ = (х₂ – х)i+ (y₂ – y)j Уравнение (1) принимает вид:

(х – х₁)i+(y – y₁)j = λ (х₂ – х)i+ λ (y₂ – y)j

Учитывая, что равные вектора имеют равные координаты, получим:

х – х₁ = λ (х₂ – х) и y – y₁ = λ (y₂ – y)

(2) (3)

Формулы (2) и (3) называются формулами деления отрезка в данном отношении.

В частности при λ=1 , то есть точка М – середина отрезка АВ.

 

Замечания:

- если λ=0, то это означает, что А и М совпадают

- если λ<0, то М лежит вне отрезка АВ, говорят что М делит АВ внешним образом.