Его геометрический смысл.

Определение смешанного произведения,

Смешанные произведения векторов.

Нахождение линейной скорости вращения.

Скорость v в точке М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера:

v = ωr ,где r = OM

 

v

 

 

M

 

ω

r

Рассмотрим произведение векторов a, b, c, составленное следующим образом: (a×b)∙с –

здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Выясним геометрический смысл выражения (a×b)∙с

 

d

 

H c

 

b S

 

Имеем: (a×b)∙с = │d│прdс ; │d│= │a×b │= S

Таким образом смешанное произведение трех векторов равно объему параллепипеда, построенного на этих векторах. Взятых со знаком «+», если они образуют правую тройку и со знаком «-», если левую тройку.

 

Свойства смешанного произведения:

1) Смешанное произведение трех векторов равно 0, если

а) хотя бы один из векторов равен 0

б)два из перемножаемых вектора коллинеарны

в)три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны)

2) Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного:

(a×b)с = a (b×с)

3) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак:

bac=-abc; cba=-abc; acb=-abc

а = ахi + аyj + аzk