Ассоциативные алгебры.

Лекция 12.

Доказательство.

Если , то является чисто мнимым кватернионом т.т.т. когда , а последнее выполняется т.т.т., к. .

что и требовалось доказать.

Определение. Алгеброй А над полем К или К-алгеброй называется линейное пространство А над полем К, в котором определена бинарная операция умножения векторов, удовлетворяющая следующим аксиомам:

Определение. Алгебра А над полем К называется ассоциативной, если

Определение. Алгебра А над полем К называется коммутативной, если

Определение. Алгебра А над полем К называется алгеброй с делением, если

разрешимы уравнения и

Определение. Рангом алгеброй А над полем К называется размерность линейного пространства А над полем К в случае его конечномерности.

Примеры:

1. - алгебра квадратных матриц n-ого порядка над полем К, где .

2. - алгебра над полем R, где .

3. - алгебра над полем , где .

Определение. Алгебры А и В над полем К называются изоморфными, если существует биективное отображение ,удовлетворяющее условиям:

Пример. Алгебра квадратных матриц n-ого порядка над полем К илинейное пространство линейных операторов n-мерного линейного пространства над полем К (каждому оператору можно поставить в соответствие его матрицу в некотором фиксированном базисе).