Упорядоченность поля действительных чисел.

Теорема 4.Поле действительных чисел упорядоченное.

Доказательство.

Рассмотрим подмножество . Нетрудно проверить аксиомы положительного конуса для .

Последнее справедливо, поскольку сумма и произведение положительных последовательностей также являются последовательностями положительными.

возможен один из трех случаев:

§ ,

§ ,

§ .

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Бинарное отношение < на , определенное по правилу является строгим линейным порядком и удовлетворяет свойствам 1.-6. (см. теорему об упорядоченных кольцах).

Следствие 2. Бинарное отношение на , определенное по правилу является линейным порядком.

Лемма 1. Если и , то .