Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
Договоримся обозначать поле рациональных чисел через 
.
Теорема 4.Кольцо 
изоморфно вкладывается в поле рациональных чисел 
.
Доказательство.
Рассмотрим множество 
. Нетрудно устанавливается, что 
подполе поля , проверим только замкнутость.
замкнуто относительно сложения и умножения (?)
;
.
Рассмотрим соответствие
заданное по правилу 
.
Докажем, что 
- кольцевой изоморфизм.
- отображение (?)
Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого целого числа 
можно построить класс .
Однозначность:
(?)
- биекция (?)
Инъективность: 
(?)
.
Сюръективность: 
(?)
Возьмем 
, поскольку . В силу произвольности 
сюръективность доказана.
- гомоморфизм (?)
Сохранение операции сложения: 
(?)
.
Сохранение операции умножения: 
(?)
Таким образом доказано, что алгебра изоморфна подалгебре алгебры , следовательно, изоморфно вкладывается в .
что и требовалось доказать.
Замечание. Ввиду изоморфизма, который отмечен в конце доказательства, мы проведем отождествление 
для каждого целого числа. Ввиду этого отождествления получим 
(подмножество, более того, подкольцо).