Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№
7,0 3,9 10,0 27,3 70,0 39,0 15,21 100,0 49,0
7,0 3,9 14,0 27,3 98,0 54,6 15,21 196,0 49,0
7,0 3,7 15,0 25,9 105,0 55,5 13,69 225,0 49,0
7,0 4,0 16,0 28,0 112,0 64,0 16,0 256,0 49,0
7,0 3,8 17,0 26,6 119,0 64,6 14,44 289,0 49,0
7,0 4,8 19,0 33,6 133,0 91,2 23,04 361,0 49,0
8,0 5,4 19,0 43,2 152,0 102,6 29,16 361,0 64,0
8,0 4,4 20,0 35,2 160,0 88,0 19,36 400,0 64,0
8,0 5,3 20,0 42,4 160,0 106,0 28,09 400,0 64,0
10,0 6,8 20,0 68,0 200,0 136,0 46,24 400,0 100,0
9,0 6,0 21,0 54,0 189,0 126,0 36,0 441,0 81,0
11,0 6,4 22,0 70,4 242,0 140,8 40,96 484,0 121,0
9,0 6,8 22,0 61,2 198,0 149,6 46,24 484,0 81,0
11,0 7,2 25,0 79,2 275,0 180,0 51,84 625,0 121,0
12,0 8,0 28,0 96,0 336,0 224,0 64,0 784,0 144,0
12,0 8,2 29,0 98,4 348,0 237,8 67,24 841,0 144,0
12,0 8,1 30,0 97,2 360,0 243,0 65,61 900,0 144,0
12,0 8,5 31,0 102,0 372,0 263,5 72,25 961,0 144,0
14,0 9,6 32,0 134,4 448,0 307,2 92,16 1024,0 196,0
14,0 9,0 36,0 126,0 504,0 324,0 81,0 1296,0 196,0
Сумма 123,8 1276,3 2997,4 837,74 10828,0 1958,0
Ср. знач. 9,6 6,19 22,3 63,815 229,05 149,87 41,887 541,4 97,9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1.Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

; ;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

;

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

; .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2.Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

; ; .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

;

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3.Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4.Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Получили, что (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5.С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6.Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

, .

Варианты индивидуальных заданий

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) (смотри таблицу своего варианта).

Требуется:

1.Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2.Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3.Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4.С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5.С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

6.Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Вариант 1

Номер предприятия Номер предприятия
3,6 6,3
3,6 6,4
3,9
4,1 7,5
3,9 7,9
4,5 8,2
5,3
5,3 8,6
5,6 9,5
6,8

Вариант 2

Номер предприятия Номер предприятия
3,5 6,3
3,6 6,4
3,9
4,1 7,5
4,2 7,9
4,5 8,2
5,3 8,4
5,3 8,6
5,6 9,5

Вариант 3

Номер предприятия Номер предприятия
3,7 6,3
3,7 6,4
3,9 7,2
4,1 7,5
4,2 7,9
4,9 8,1
5,3 8,4
5,1 8,6
5,6 9,5
6,1 9,5

Вариант 4

Номер предприятия Номер предприятия
3,5 6,3
3,6 6,5
3,9 7,2
4,1 7,5
4,2 7,9
4,5 8,2
5,3 8,4
5,5 8,6
5,6 9,5
6,1 9,6

Вариант 5

Номер предприятия Номер предприятия
3,6 6,3
3,6 6,9
3,7 7,2
4,1 7,8
4,3 8,1
4,5 8,2
5,4 8,4
5,5 8,8
5,8 9,5
6,1 9,7

Вариант 6

Номер предприятия Номер предприятия
3,5 6,3
3,6 6,8
3,8 7,2
4,2 7,9
4,3 8,1
4,7 8,3
5,4 8,4
5,6 8,8
5,9 9,6
6,1 9,7

 

Вариант 7

Номер предприятия Номер предприятия
3,8 6,8
3,8 7,4
3,9 7,8
4,1 7,5
4,6 7,9
4,5 8,1
5,3 8,4
5,5 8,7
6,1 9,5
6,8 9,7

Вариант 8

Номер предприятия Номер предприятия
3,8 7,1
4,1 7,5
4,3 7,8
4,1 7,6
4,6 7,9
4,7 8,1
5,3 8,5
5,5 8,7
6,9 9,6
6,8 9,8

Вариант 9

Номер предприятия Номер предприятия
3,9 7,1
4,2 7,5
4,3 7,8
4,4 7,9
4,6 8,1
4,8 8,4
5,3 8,6
5,7 8,8
6,9 9,6
6,8 9,9

 

Вариант 10