Интерактивный метод PROMETHEE решения МКЗ
Метод получил свое название из аббревиатуры полного названия: Preference Ranking Organisation METHod for Enrichment Evaluations. В данном методе устанавливается отношение предпочтения между вариантами.
Метод рассмотрим на том же примере, что и метод смещенного идеала. Исходное множество вариантов:
| Название объекта | Зар. Плата | Удаленность | Перспективы |
| Вариант 1 | |||
| Вариант 2 | |||
| Вариант 3 | |||
| Вариант 4 | |||
| Вариант 5 | |||
| Вариант 7 | |||
| Вариант 8 |
Вариант 6 исключен, т.к. он был доминируемым.
Этап 1. Задание функций предпочтения.
Сравнение пар объектов i и l по каждому критерию осуществляется с использованием функций предпочтения 
, где d – разность значений критериев двух объектов.
На рис.2.6 приведены несколько видов функций предпочтения. Как правило они имеют два параметра: р – порог безразличия, он отражает тот факт, что если разность 
несущественна, то объекты по критерию j эквивалентны. При превышении разности порогового значения 
между объектами устанавливается отношение предпочтения.
При превышении разности 
порога q функция предпочтения
, что соответствует «сильному предпочтению» варианта i по отношению к l варианту по j критерию.
При разности 
в интервале от р до q функция предпочтения меньше 1, что соответствует «Слабому предпочтению».
.
Таким образом, ЛПР должен задать для каждого критерия функцию предпочтения. Для рассматриваемого примера в качестве функций предпочтения используем линейные функции с участком безразличия.
Значения пороговых параметров для критериев приведены ниже:
| Критерий | р | q |
| Зар. плата | ||
| Удаленность | ||
| Перспективы |
Этап 2. Задание весов критериев. Возьмем в качестве весов те же, что в методе смещенного идеала: V1 = 0.4; V2 = 0.3; V3 = 0.3.
Этап 3. Расчет индексов предпочтения 
, которые вычисляются по формуле:
, где 
– веса критериев 
.
Результаты расчетов приведены ниже в таблице.
| В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | В7 | В8 | Ф+ | |
| В1 | 0,4 | 0,7 | 0,3 | 0,3 | 0,45 | 0,3 | 2,45 | |
| В2 | 0,15 | 0,45 | 0,3 | 0,3 | 0,6 | 0,3 | 2,2 | |
| В3 | 0,4 | 0,4 | 0,15 | 0,3 | 0,15 | 0,4 | 1,8 | |
| В4 | 0,55 | 0,55 | 0,15 | 0,6 | 0,6 | 0,15 | 2,6 | |
| В5 | 0,7 | 0,55 | 0,7 | 0,4 | 0,3 | 0,4 | 3,05 | |
| В7 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | |||
| В8 | 0,7 | 0,7 | 0,3 | 0,55 | 0,45 | 0,3 | ||
| Ф- | 3,00 | 3,00 | 2,7 | 2,1 | 1,95 | 2,4 | 1,95 |
Матрицу индексов предпочтения
можно представить в виде ориентированного графа предложений со взвешенными дугами, причем между каждой парой вершин устанавливаются две дуги с весами 
и 
.
Этап 4. Определение коэффициентов предпочтени:
а) коэффициент предпочтения 
рассчитывается суммированием индексов предпочтения по строкам матрицы индексов предпочтения (всем выходящим дугам):
;
б) коэффициент обратного предпочтения 
путем суммирования по столбцам матрицы индексов предпочтения (по всем входящим дугам):
.
Вычисляемые коэффициенты 
и 
являются информационной базой для упорпядочивания вариантов и используются по-разному в модификациях метода.
Этап 5. Модификация 1 PROMETHEE
В этой модификации определяютяс бинарные отношения между каждой парой объектов:
, если (
и 
) или (и 
), или (и 
);
(безразличны), если и ;
не сравним с 
во всех других случаях.
Множество установленных бинарных отношений предпочтений отражает частичный порядок объектов.
| В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | В7 | В8 | |
| В1 | ~ | > | N | < | < | N | < |
| В2 | < | ~ | N | < | < | N | < |
| В3 | N | N | ~ | < | < | N | < |
| В4 | > | > | > | ~ | < | > | < |
| В5 | > | > | > | > | ~ | > | > |
| В7 | N | N | N | < | < | ~ | < |
| В8 | > | > | > | > | < | > | ~ |
Из матрицы отношений можно видеть, что наиболее предпочтительным вариантом является вариант 5, т.к. он предпочтительней всех остальных.
Этап 6. Модификация 2 PROMETHEE
Данная модификация позволяет упорядочить объекты. Для этого вычисляется один коэффициент 
, характеризующий предпочтение по следующей формуле: 
.
| Фi | |
| Вариант 1 | -0,55 |
| Вариант 2 | -0,8 |
| Вариант 3 | -0,9 |
| Вариант 4 | 0,5 |
| Вариант 5 | 1,1 |
| Вариант 7 | -0,4 |
| Вариант 8 | 1,05 |
По значениям 
объекты упорядочиваются.
В5>В8 >В4 >В7 >В1>В2 >В3
Следует отметить, что не всегда предпочтительнее является модификация 2, так как больше информации о предпочтении объектов получает ЛПР, анализируя попарные отношения предпочтения. Так как этот метод является эвристическим, то получаемые результаты являются дополнительной информацией для ЛПР, и ему лучше иметь исходную информацию в виде множества бинарных отношений, чем агрегированную в модификации 2.