ЗАДАЧА № 4 Тема: Системы эконометрических уравнений

Задания для индивидуальной работы

Для заданной системы эконометрических уравнений выполнить:

1)определение вида и наборов всех переменных;

2)запись приведенной формы модели;

3)идентификацию системы эконометрических уравнений;

4)определение взаимосвязи между коэффициентами приведенной и структурной формами модели;

5)осуществить поиск исходных данных согласно приведенной модели;

6)оценку коэффициентов исходной модели.

 

Вариант 10

Модель денежного и товарного рынков:

где R – процентные ставки; Y – реальный ВВП; М – денежная масса;

I – внутренние инвестиции; G – реальные государственные расходы;

t – текущий период.

 

Известные данные за 9 лет:

№	Yt	It	Rt	Mt	Gt
	125,40	45,70	12,10	5,49	10,20
	126,40	46,20	12,02	5,60	10,80
	128,10	49,30	11,90	5,78	11,25
	130,50	48,00	11,50	5,80	12,30
	136,40	50,30	11,30	5,96	12,90
	138,20	52,40	11,00	6,12	13,50
	140,00	55,10	10,80	6,23	14,00
	142,30	56,10	10,60	6,35	14,50
	145,61	59,40	10,30	6,45	15,00

 

Решение

1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Она включает три эндогенные переменные (R_t, Y_t, I_t) и две предопределенные – экзогенные переменные M_t и G_t.

2. Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных. Для данной модели она имеет вид:

, где V₁, V₂, V₃ – случайные ошибки.

 

3. Проблема идентификации модели.

Для перехода от приведенной формы модели к структурной модели проверим необходимое условие идентифицируемости для каждого уравнения модели.

1-е уравнение включает 2 эндогенные переменные (R_t и Y_t) и одну экзогенную переменную M_t. Число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1 равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1+1 = 2. Следовательно, 1-е уравнение идентифицируемо

2-е уравнение включает 3 эндогенные переменные (R_t, Y_t и I_t) и одну экзогенную переменную G_t. Число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1 (=2) меньше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1+1 = 2. Следовательно, 2-е уравнение не идентифицируемо.

3-е уравнение включает 2 эндогенные переменные (R_t, I_t) и ни одну экзогенную переменную G_t. Число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1 (=3), больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1+1 = 2. Следовательно, 3-е уравнение сверхидентифицируемо.

Т.к. 2-е уравнения неидентифицируемо, то данная модель неидентифицируема.

Теперь проверим достаточное условие идентифицируемости для каждого уравнения модели. Составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Уравнение	Rt	Yt	Mt	It	Gt
I	–1	b12	b14
II	b21	–1		b23	b25
III	b31			–1

Достаточное условие идентифицируемости уравнения: определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в данное уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных минус 1, 2–1 = 1.

1-е уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в 1-е уравнение:

b23	b25
–1

Ее ранг равен 2, т.к. определитель 2-го порядка равен b₂₅ ≠ 0

2-е уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих во 2-е уравнение: A =

b14

Ее ранг равен 1, т.к. определитель 1-го порядка b₁₄ ≠ 0.

3-е уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в 3-е уравнение:

b12	b14
–1		b25

Ее ранг равен 2, т.к. определитель 2-го порядка равен b₂₅ ≠ 0

 

Достаточное условие идентифицируемости для каждого уравнения выполняются. Все уравнения модели идентифицируемы.

 

4. Установим взаимосвязи между параметрами модели.

Найдем приведенный вид 1-го уравнения. Для этого выражение для I_t из 3-го уравнения подставим во 2-е:

Y_t = a₂+b₂₁R_t+b₂₃(a₃+b₃₁R_t)+b₂₅G_t,

или Y_t = a₂+ b₂₃a₃ +(b₂₁+b₂₃b₃₁)R_t+ b₂₅G_t,

Затем подставим это выражение в 1-е уравнение вместо Y_t:

R_t = a₁+b₁₂(a₂+b₂₃a₃) + b₁₂(b₂₁+b₂₃b₃₁)R_t+ b₁₂b₂₅G_t +b₁₄M_t

или R_t(1– b₁₂(b₂₁+b₂₃b₃₁)) = a₁+b₁₂(a₂+b₂₃a₃) +b₁₄M_t +b₁₂b₂₅G_t

или R_t =

Сопоставляя полученное уравнение с приведенной формой для 1-го уравнения: R_t = A₁+A₂G_t+A₃M_t, получим:

A₁ = , A₂ = , A₃ = ,

 

Найдем приведенный вид 3-го уравнения. Для этого выражение для Y_t из 2-го уравнения подставим в 3-е:

I_t = a₃ + =

= + + =

= + + =

Сопоставляя полученное уравнение с приведенной формой для 1-го уравнения: I_t = C₁+C₂G_t+C₃M_t, получим:

C₁ = , C₂ = , C₃ = ,

 

 

Y_t = a₂+b₂₁R_t+b₂₃I_t+b₂₅G_t = a₂+b₂₁R_t+b₂₃(a₃+b₃₁R_t)+b₂₅G_t, =

= a₂+ b₂₃a₃ +(b₂₁+b₂₃b₃₁)R_t+ b₂₅G_t =

= a₂+ b₂₃a₃ +(b₂₁+b₂₃b₃₁)(a₁+b₁₂Y_t+b₁₄M_t)+ b₂₅G_t =

= a₂+ b₂₃a₃ + (b₂₁+b₂₃b₃₁)a₁+(b₂₁+b₂₃b₃₁)b₁₂Y_t+(b₂₁+b₂₃b₃₁)b₁₄M_t)+ b₂₅G_t

Y_t(1–(b₂₁+b₂₃b₃₁)b₁₂) = a₂+ b₂₃a₃ + (b₂₁+b₂₃b₃₁)a₁+(b₂₁+b₂₃b₃₁)b₁₄M_t+ b₂₅G_t

Y_t =

Y_t =

Сопоставляя полученное уравнение с приведенной формой для 1-го уравнения: Y_t = B₁+B₂M_t+B₃G_t, получим:

B₁ = , A₂ = , A₃ = ,

 

5. По полученным соотношениям нельзя однозначно определить коэффициенты исходной модели. Воспользуемся двухшаговым методом наименьших квадратов для их определения.

Запишем данные в рабочую книгу Статистика 6.2:

 

Рис.4. Таблица с исходными данными

 

Для выполнения первого шага двухшагового метода наименьших квадратов воспользуемся средством Анализ → Множественная регрессия:

 

Рис.2. Рабочий лист с параметрами зависимости Y_t = f(M_t, G_t)

Рис.3. Рабочий лист с параметрами зависимости I_t = f(M_t, G_t)

Рис.3. Рабочий лист с параметрами зависимости R_t = f(M_t, G_t)

В результате получили приведенную форму системы:

 

Полученные уравнения используем для определения теоретических значений эндогенных переменных. Организуем новую таблицу, которая содержит столбцы исходных эндогенных переменных, рассчитанных теоретически. Эту таблицу используем для построения исходных уравнений методом наименьших квадратов.

 

Рис.4. Таблица теоретических значений эндогенных переменных

 

6. Построим сводную таблицу для построения исходных уравнений

методом наименьших квадратов.

 

Рис.5. Таблица теоретических значений эндогенных переменных

 

Рис.2. Итоги регрессии R_t на M_t и Y_t

Рис.3. Итоги регрессии Y_t на R_t, I_t и G_t

 

Рис. 4. Итоги регрессии I_t на R_t

 

На основе таблиц, приведенных на рис.6 запишем структурную форму модели:

Для 2-го уравнения не удалось получить конкретный вид ввиду того, что это уравнение не является идентифицируемым.