Решение.

1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений: и (см. табл. 1)

Таблица 1.

Годы
-31 -36
-14 -17
-5 -35
-4 -3
-21 -1
Итого — —
Средняя 266,6 — 260,7 — — 283,6 248,8
Сигма 35,58 — 30,84 — 16,84 15,77 — — —
D 1265,84 — 951,41 — 283,60 248,80 — — —

 

Выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии отклонений с1, и . Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений: .

В силу того, что свободный член уравнения регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного: . С изменением отлонений импорта от своего тренда на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на 0,8935 часть своей единицы. В дальнейшем коэффициент с1 используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:

;

Выявлена тесная связь отклонений от трендов, которая означает, что на 70,0% вариация размеров отклонений по импорту детерминирует изменения по экспорту, а на 30% вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.

Второй вариант оценки связи двух рядов основан на традиционной оценке корреляции их уровней:

.

Данный подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а1 и далее с помощью и расчёт коэффициента корреляции. Информация для расчёта представлена в табл. 2.

Расчёт определителей дал следующие результаты:

Значения параметров регрессии: ; , а уравнение имеет вид:

.

Коэффициенты тесноты связи уровней составят: ; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 92,2% вариации экспорта.

Таблица 2.

Годы
Итого
Средняя 266,6 260,7      
Сигма 35,58 30,84      
D 1265,84 951,41      

 

2. Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы могут создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.

В действительности связь рядов существует, оценивается она как тесная; то есть, в ней экспорт на 70% детерминирован вариацией импорта. Фактический F-критерий равен 18,9. Это больше табличного (F табл.=5,32), что доказывает надёжность и значимость истинной связи рядов.

3. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: . В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а2 отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов. Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а1 , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

Используем для расчёта параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.

Для построения уравнения в стандартизованном масштабе: рассчитаем значения -коэффициентов:

Получено следующее уравнение: .

Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в четыре раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:

По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме: ;

.

Уравнение имеет вид: . С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,895 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t ) экспорт увеличивается в среднем за год на 2,65 млрд. $.

Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:

; .

Как видим, получены результаты, совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.

Использование динамической модели в прогнозе заключается в подстановке в её правую часть прогнозных значений фактора Z и фактора t. То есть,

 


Приложения

Приложение 1.

Таблица значений F-критерия Фишера

k2 -степени свободы остаточной дисперсии (k2 =n-m-1) k1 - степени свободы факторной дисперсии (k1 = m )
k1=1 k1=2 K1=3 k1=4
Уровень значимости, α
0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01
39,9 161,5 49,5 199,5 53,6 215,72 55,8 224,57
8,5 18,5 98,5 9,0 19,0 99,00 9,2 19,16 99,2 19,2 19,25 99,30
5,54 10,13 34,1 5,46 9,6 30,82 5,39 9,28 29,5 5,34 9,12 28,71
4,54 7,71 21,2 4,32 6,9 18,00 4,19 6,59 16,7 4,11 6,39 15,98
4,06 6,61 16,3 3,78 5,79 13,27 3,62 5,41 12,1 3,52 5,19 11,39
3,78 5,99 13,8 3,46 5,14 10,92 3,29 4,76 9,8 3,18 4,53 9,15
3,59 5,59 12,3 3,26 4,74 9,55 3,07 4,35 8,5 2,96 4,12 7,85
3,46 5,32 11,3 3,11 4,46 8,65 2,92 4,07 7,6 2,81 3,84 7,01
3,36 5,12 10,6 3,01 4,26 8,02 2,81 3,86 7,0 2,69 3,63 6,42
3,29 4,96 10,0 2,92 4,10 7,56 2,73 3,71 6,6 2,61 3,48 5,99
3,23 4,84 9,7 2,86 3,98 7,20 2,66 3,59 6,2 2,54 3,36 5,67
3,18 4,75 9,3 2,81 3,88 6,93 2,61 3,49 6,0 2,48 3,26 5,41
3,14 4,67 9,1 2,76 3,80 6,70 2,56 3,41 5,7 2,43 3,18 5,20
3,10 4,60 8,9 2,73 3,74 6,51 2,52 3,34 5,6 2,39 3,11 5,03
3,07 4,54 8,7 2,70 3,68 6,36 2,49 3,29 5,4 2,36 3,06 4,89
3,05 4,49 8,5 2,67 3,63 6,23 2,46 3,24 5,3 2,33 3,01 4,77
3,03 4,45 8,4 2,64 3,59 6,11 2,44 3,20 5,2 2,31 2,96 4,67
3,01 4,41 8,3 2,62 3,55 6,01 2,42 3,16 5,1 2,29 2,93 4,58
2,99 4,38 8,2 2,61 3,52 5,93 2,40 3,13 5,0 2,27 2,90 4,50
2,97 4,35 7,9 2,59 3,49 5,72 2,38 3,10 4,9 2,25 2,87 4,31
… 4,32 8,0 … 3,47 5,78 … 3,07 4,9 … 2,84 4,37
2,95 4,30 7,9 2,56 3,44 5,72 2,35 3,05 4,8 2,22 2,82 4,31
… 4,28 7,9 … 3,42 5,66 … 3,03 4,8 … 2,80 4,26
2,93 4,26 7,8 2,54 3,40 5,61 2,33 3,01 4,7 2,19 2,78 4,22
… 4,24 7,8 … 3,38 5,57 … 2,99 4,7 … 2,76 4,18
2,91 4,22 7,7 25,2 3,37 5,53 2,31 2,98 4,6 2,17 2,73 4,14
2,88 4,17 7,56 2,49 3,32 5,39 2,28 2,92 4,5 2,14 2,69 4,02
2,84 4,08 7,31 2,44 3,23 5,18 2,23 2,84 4,3 2,09 2,61 3,83
2,79 4,00 7,08 2,39 3,15 4,98 2,18 2,76 4,1 2,04 2,53 3,65
2,77 8,96 6,96 2,37 3,11 4,88 2,16 2,72 4,0 2,02 2,48 3,56
2,76 3,94 6,90 2,36 3,09 4,82 2,14 2,70 3,98 2,00 2,46 3,51
∞ 2,71 3,84 6,63 2,30 3,00 4,61 2,08 2,60 3,78 1,94 2,37 3,32

 

 


Приложение 2

Таблица критических значений t-статистики Стьюдента

Число степеней свободы, d.f.=n-k-1 Уровень значимости, α (двусторонний)
0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01
1,38 1,96 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66
1,06 1,39 1,89 2,92 4,30 6,97 9,93
0,98 1,25 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84
0,94 1,19 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60
0,92 1,16 1,48 2,02 2,57 3,37 4,03
0,91 1,13 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71
0,90 1,12 1,42 1,90 2,37 3,00 3,50
0,89 1,11 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36
0,88 1,10 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25
0,88 1,09 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17
0,88 1,09 1,36 1,80 2,20 2,72 3,11
0,87 1,08 1,36 1,78 2,18 2,68 3,06
0,87 1,08 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01
0,87 1,08 1,35 1,76 2,15 2,62 3,00
0,87 1,07 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95
0,87 1,07 1,34 1,75 2,12 2,58 2,92
0,86 1,07 1,33 1,74 2,11 2,57 2,90
0,86 1,07 1,33 1,73 2,10 2,55 2,88
0,86 1,07 1,33 1,73 2,09 2,54 2,86
0,86 1,06 1,33 1,73 2,09 2,53 2,85
0,86 1,06 1,32 1,72 2,08 2,52 2,83
0,86 1,06 1,32 1,72 2,07 2,51 2,82
0,86 1,06 1,32 1,71 2,07 2,50 2,81
0,86 1,06 1,32 1,71 2,06 2,49 2,80
0,86 1,06 1,32 1,71 2,06 2,49 2,79
0,86 1,06 1,32 1,71 2,06 2,48 2,78
0,86 1,06 1,31 1,70 2,05 2,47 2,77
0,86 1,06 1,31 1,70 2,05 2,47 2,63
0,85 1,06 1,31 1,70 2,05 2,46 2,76
0,85 1,06 1,31 1,70 2,04 2,46 2,75
0,85 1,05 1,30 1,68 2,02 2,42 2,70
0,85 1,05 1,30 1,67 2,00 2,39 2,66
0,85 1,04 1,30 1,66 1,98 2,36 2,62
∞ 0,84 1,036 1,28 1,65 1,96 2,33 2,58

 

Приложение 3.

Шкала атрибутивных оценок тесноты корреляционной зависимости

Значения показателей корреляции ( ) Атрибутивная оценка тесноты выявленной зависимости Значения показателей детерминации, % ( )
До 0,3 Слабая До 10
0,3 – 0,5 Умеренная 10 – 25
0,5 – 0,7 Заметная 25 – 50
0,7 – 0,9 Тесная 50 – 80
0,9 и более Весьма тесная 80 и более

 

 


Приложение 4.