Решение.
1. Построение системы структурных уравнений выполняется в соответствии с рабочими гипотезами:
2. В соответствии со счётным правилом оба уравнения и система в целом являются точно идентифицированными и это означает, что они имеют единственное решение, которое может быть получено косвенным МНК (КМНК).
| Номер уравнения | Число эндогенных переменных в уравнении, H | Число экзогенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, D | Сравнение параметров H и D+1 | Решение об идентификации уравнения |
| 2 = 1+1 | точно идентифицировано | |||
| 2 = 1+1 | точно идентифицировано | |||
| Система уравнений в целом | точно идентифицирована |
3. Процедура КМНК состоит в том, чтобы путём преобразования результатов решения приведённых уравнений получить искомые структурные уравнения. Используемый приём подстановок обеспечивает получение точных результатов только в том случае, если выполняемые преобразования точны и безошибочны. Чтобы получить первое структурное уравнение из первого приведённого необходимо отсутствующий в структурном уравнении признак 
выразить через Y2, используя результаты второго приведённого уравнения. То есть:
После подстановки значения в первое приведённое уравнение и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:
.
Как видим, полученный результат соответствует исходной рабочей гипотезе. Анализ показывает, что стоимость ВРП находится в прямой зависимости от розничного товарооборота, стоимости основных фондов в экономике, от размера инвестиций в экономику и от численности населения, занятого в экономике региона.Указанные переменные объясняют 86,3% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми и надёжными, так как
для 
.
Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости.
Аналогично выполняем преобразования для определения параметров второго структурного уравнения. Выразим отсутствующий в уравнении 
через Y1, используя результаты построения первого приведённого уравнения. То есть:
.
После подстановки значения во второе приведённое уравнение и преобразования подобных членов получаем следующий результат:
.
Уравнение описывает линейную зависимость розничного товарооборота от стоимости ВРП, основных фондов в экономике, от численности занятых в экономике и от уровня среднедушевых расходов населения за месяц. Данный перечень переменных объясняет 87,4% вариации оборота розничной торговли, а соотношение 
позволяет отклонить нулевую гипотезу о случайной природе выявленной зависимости.
4. Для выполнения прогнозных расчётов 
и 
наиболее простым является вариант, по которому прогнозные значения экзогенных переменных ( 
) подставляются в приведённые уравнения. Точность и надёжность прогнозов в этом случае зависит от качества приведённых моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных переменных от их средних значений.
Задача №6.
Среднегодовая численность занятых в экономике Российской Федерации, млн. чел., за период с 1990 по 2000 год характеризуется следующими данными:
| Годы | Qt | Годы | Qt |
| 75,3 | 66,4 | ||
| 73,8 | 66,0 | ||
| 72,1 | 64,7 | ||
| 70,9 | 63,8 | ||
| 68,5 | 64,0 | ||
| 64,3 |
Задание:
1. Постройте график фактических уровней динамического ряда -Qt
2. Рассчитайте параметры параболы второго порядка : 
,
линейной : 
и логарифмической функций : 
3. Оцените полученные результаты:
- с помощью показателей тесноты связи ( ρ и ρ2 );
- значимость модели тренда (F-критерий);
- качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации 
, а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда - 
4. Выберите лучшую форму тренда и выполните по ней прогноз до 2003 года.
5. Проанализируйте полученные результаты.
Решение:
1. Общее представление о форме основной тенденции в уровнях ряда даёт график их фактических значений. Для его построения введём дополнительные обозначения для комплекса систематически действующих факторов, который по традиции обозначим через t и условно отождествим с течением времени. Для обозначения комплекса систематических факторов используются числа натурального ряда: 1, 2, 3, …,n. См. табл. 1.
В первую очередь выявим линейный тренд и проверим его статистическую надёжность и качество. Параметры рассчитаем с помощью определителей второго порядка, используя формулы, рассмотренные нами в зад. 1. Получены значения определителей: 
; 
; 
. С их помощью получены следующие параметры линейного тренда: 
; 
, уравнение имеет вид: 
. Уравнение детерминирует 92,2% вариации численности занятых ( 
; 
).
Таблица 1.
| Годы | Qt | T | t2 | Qt*t | Qt расч. | DQt | (dQt)2 | 
|
| А | ||||||||
| 75,3 | 75,3 | 74,3 | 1,0 | 1,0 | 1,5 | |||
| 73,8 | 147,6 | 73,0 | 0,8 | 0,6 | 1,1 | |||
| 72,1 | 216,3 | 71,8 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |||
| 70,9 | 283,6 | 70,6 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |||
| 68,5 | 342,5 | 69,4 | -0,9 | 0,8 | 1,3 | |||
| 66,4 | 398,4 | 68,2 | -1,8 | 3,2 | 2,6 | |||
| 66,0 | 462,0 | 66,9 | -0,9 | 0,8 | 1,4 | |||
| 64,7 | 517,6 | 65,7 | -1,0 | 1,0 | 1,5 | |||
| 63,8 | 574,2 | 64,5 | -0,7 | 0,5 | 1,0 | |||
| 64,0 | 640,0 | 63,3 | 0,7 | 0,5 | 1,0 | |||
| 64,3 | 707,3 | 62,1 | 2,2 | 4,8 | 3,3 | |||
| Итого | 749,8 | 4364,8 | 749,8 | 0,0 | 13,4 | 15,6 | ||
| Средняя | 68,2 | 6,0 | — | — | — | — | — | 1,4 |
| Сигма | 4,01 | 3,16 | — | — | — | — | — | — |
| Дисперсия, D | 16,08 | 10,0 | — | — | — | — | — | — |
Средняя ошибка аппроксимации 
очень невелика ( = 1,4%), что указывает на высокое качество модели тренда и возможность её использования для решения прогнозных задач. Фактическое значение F-критерия составило 108 и сравнение с 5,12 его табличного значения позволяет сделать вывод о высокой степени надёжности уравнения тренда.
Для дополнительной проверки качества тренда выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений фактических уровней от рассчитанных по уравнению тренда. Если будет установлено отсутствие связи отклонений, это укажет на их случайную природу, то есть на то, что тренд выбран верно, что он полностью исключил основную тенденцию из фактических уровней ряда и что он сформировал случайный значения отклонений.
 |
Выполним расчёт в табл.2. Поместим во второй графе фактические отклонения от тренда 
, для удобства расчёта обозначим их через Y. В соседней графе поместим эти же отклонения, но, сместив их относительно первой строки на один год вниз; обозначим их через 
и рассмотрим в качестве фактора X. Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчитаем по формуле: 
Используем значения определителей второго порядка для расчёта коэффициента регрессии с1, который отражает силу связи отклонений и . Получены следующие значения определителей:
Отсюда 
. При этом, коэффициент корреляции отклонений составит:
В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает сравнение фактического и табличного значений F- критерия: 
. Следовательно, нулевая гипотеза о случайной природе отклонений не может быть принята, отклонения связаны между собой и не являются случайными величинами. То есть, линейный тренд не полностью исключил из фактических уровней влияние систематических факторов, формирующих основную тенденцию. Следует рассмотреть тренд иной формы.
Таблица 2
| (Y)
| (X)
| 
| 
| |
| 1,0 | — | — | — | |
| 0,8 | 1,0 | 0,8 | 1,0 | |
| 0,3 | 0,8 | 0,2 | 0,6 | |
| 0,3 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | |
| -0,9 | 0,3 | -0,3 | 0,1 | |
| -1,8 | -0,9 | 1,6 | 0,8 | |
| -0,9 | -1,8 | 1,6 | 3,2 | |
| -1,0 | -0,9 | 0,9 | 0,8 | |
| -0,7 | -1,0 | 0,7 | 1,0 | |
| 0,7 | -0,7 | -0,5 | 0,5 | |
| 2,2 | 0,7 | 1,5 | 0,5 | |
| Итого | -1,0 | -2,2 | 6,6 | 8,6 |
| Средняя | -0,1 | -0,2 | — | — |
| Сигма | 1,12 | 0,91 | — | — |
2. Рассмотрим возможность использования для описания тренда равносторонней гиперболы: 
. В качестве аргумента в уравнении тренда здесь выступает 
. Выполним расчёт параметров и оценим полученное уравнение. См. табл. 3.
Таблица 3
| Годы | 
|
| 
| 
|  .
|
| 
|
|
| 75,3 | 1,000 | 75,300 | 1,0000 | 77,8 | -2,5 | 6,3 | 3,7 | |
| 73,8 | 0,500 | 36,900 | 0,2500 | 71,2 | 2,6 | 6,8 | 3,9 | |
| 72,1 | 0,333 | 24,033 | 0,1111 | 68,9 | 3,2 | 10,2 | 4,6 | |
| 70,9 | 0,250 | 17,725 | 0,0625 | 67,8 | 3,1 | 9,6 | 4,5 | |
| 68,5 | 0,200 | 13,700 | 0,0400 | 67,2 | 1,3 | 1,7 | 2,0 | |
| 66,4 | 0,167 | 11,067 | 0,0278 | 66,7 | -0,3 | 0,1 | 0,5 | |
| 66,0 | 0,143 | 9,429 | 0,0204 | 66,4 | -0,4 | 0,2 | 0,6 | |
| 64,7 | 0,125 | 8,088 | 0,0156 | 66,2 | -1,5 | 2,2 | 2,2 | |
| 63,8 | 0,111 | 7,089 | 0,0123 | 66,0 | -2,2 | 4,8 | 3,2 | |
| 64,0 | 0,100 | 6,400 | 0,0100 | 65,8 | -1,8 | 3,2 | 2,7 | |
| 64,3 | 0,091 | 5,845 | 0,0083 | 65,7 | -1,4 | 2,0 | 2,1 | |
| Итого | 749,8 | 3,020 | 215,575 | 1,5580 | 749,8 | 0,0 | 47,1 | 29,9 |
| Средняя | 68,16 | 0,275 | — | — | — | — | 4,3 | 2,7 |
| Сигма | 4,01 | 0,257 | — | — | — | — | — | — |
| D | 16,08 | 0,066 | — | — | — | — | — | — |
Определители составили: 
; 
; 
. По их значениям рассчитаны параметры и получено уравнение тренда: 
. Уравнение тренда выявляет тенденциюпостепенного снижения и сохранения на неизменном уровне численности занятых. Индекс корреляции оценивает выявленную связь как тесную: 
(см. гр. 7 и 8). Здесь изменения численности занятых на 73,3% определены изменениями систематических факторов, а на 26,7% - прочими причинами. Ошибка аппроксимации очень невелика =2,7% (гр. 9) и поэтому возможности дальнейшего использования модели будут зависеть от оценки корреляции отклонений.
Коэффициент корреляции отклонений (коэффициент автокорреляции) выявил их заметную связь ( 
), которая является статистически незначимой: 
, то есть нулевая гипотеза 
может быть принята с 5%-ой вероятностью допустить ошибку. Таким образом, имеются веские основания для использования модели равносторонней гиперболы для выполнения прогнозных расчётов.
При выполнении прогнозов на 2001, 2002, 2003 и 2004 годы подставим в уравнение прогнозные значения фактора, 
12, 13, 14, 15, что позволяет получить результат на уровне 65,6 – 65,4 млн. чел.: 
; 
; 
; 
. В данном прогнозе реализуется гипотеза о стабилизации численности занятых и её сохранении на уровне 65,4 млн. чел.
3. Рассмотрим возможность использования показательной кривой для описания тенденции и прогноза. Показательная форма тренда имеет вид 
и предполагает выполнение процедуры линеаризации исходного уравнения с целью приведения его к линейному виду. 
В расчёте параметров полученного линейного уравнения участвуют значения 
и 
Порядок расчёта представим в табл. 4.
Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:
По ним рассчитаны параметры линеаризованной функции:
и построено уравнение: 
. Для получения уравнения в естественной форме выполним процедуру потенцирования результатов: 
.
Таблица 4.
| Годы |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
| 75,3 | 4,321 | 4,321 | 4,309 | 0,013 | 0,00017 | 74,3 | 1,0 | 1,4 | |||
| 73,8 | 4,301 | 8,603 | 4,291 | 0,010 | 0,00010 | 73,0 | 0,8 | 1,1 | |||
| 72,1 | 4,278 | 12,834 | 4,273 | 0,005 | 0,00003 | 71,8 | 0,3 | 0,5 | |||
| 70,9 | 4,261 | 17,045 | 4,256 | 0,006 | 0,00004 | 70,5 | 0,4 | 0,6 | |||
| 68,5 | 4,227 | 21,134 | 4,238 | -0,011 | 0,00012 | 69,3 | -0,8 | 1,1 | |||
| 66,4 | 4,196 | 25,174 | 4,220 | -0,025 | 0,00063 | 68,0 | -1,6 | 2,4 | |||
| 66,0 | 4,190 | 29,328 | 4,203 | -0,013 | 0,00017 | 66,9 | -0,9 | 1,3 | |||
| 64,7 | 4,170 | 33,358 | 4,185 | -0,015 | 0,00023 | 65,7 | -1,0 | 1,4 | |||
| 63,8 | 4,156 | 37,402 | 4,167 | -0,011 | 0,00012 | 64,5 | -0,7 | 1,1 | |||
| 64,0 | 4,159 | 41,589 | 4,149 | 0,009 | 0,00008 | 63,4 | 0,6 | 0,9 | |||
| 64,3 | 4,164 | 45,799 | 4,132 | 0,032 | 0,00102 | 62,3 | 2,0 | 3,0 | |||
| Итого | 749,8 | 46,422 | 276,587 | 46,422 | 0,0 | 0,00271 | 749,7 | 0,102 | 14,7 | ||
| Средняя | 68,16 | 4,220 | — | — | — | — | 0,00025 | — | — | 1,3 | |
| Сигма | 4,01 | 0,0581 | 3,162 | — | — | — | — | — | — | — | — |
| D | 16,08 | 0,00337 | 10,00 | — | — | — | — | — | — | — | — |
Показательный тренд установил, что численность занятых сокращается со среднегодовым темпом, равным 0,9825 или 98,3%. За период 1990-2001 гг. численность занятых ежегодно уменьшалась в среднем на 1,7%.
В данном случае, показатели тесноты изучаемой связи рассчитываются не как обычно – на фактических и расчётных значениях результата ( 
и ), а с использованием линеаризованных значений результата 
и , потому что именно для них выполняется требование МНК о наименьшей сумме квадратов отклонений. Расчёт выполнен в гр.8 и 9.
Выявлена весьма тесная зависимость численности занятых от комплекса систематических факторов: 
. Уравнение и его параметры статистически значимы и надёжны, т.к. Fфакт.=112, что значительно превосходит Fтабл.=5,12 (при d.f.1=1; d.f.2=11-1-1=9; α=0,05).
Средняя ошибка аппроксимации в данной задаче рассчитывается как обычно, с использованием и , т. к. при решении прогнозных задач производится оценка естественных, а не линеаризованных значений результата. Ошибка мала: =1,3% и поэтому модель может быть рекомендована для использования при прогнозировании. При этом, важно убедиться, что после выявления тренда формируются отклонения = 
, представляющие собой значения случайной переменной.
Для этого рассчитаем коэффициент автокорреляции отклонений: 
. Расчёт выполняется по линеаризованным значениям результата, то есть, с иcпользованием 
и 
.
Необходимая для расчёта информация представлена в табл. 5.
По аналогии с предыдущими расчётами определим коэффициент автокорреляции через определители второго порядка для двух рядов отклонений: и .
;
; 
;
; 
Таблица 5
| (Y)
| (X)
| 
| 
| |
| 0,013 | — | — | — | |
| 0,010 | 0,013 | 0,00013 | 0,00016 | |
| 0,005 | 0,010 | 0,00005 | 0,00011 | |
| 0,006 | 0,005 | 0,00003 | 0,00002 | |
| -0,011 | 0,006 | -0,00006 | 0,00003 | |
| -0,025 | -0,011 | 0,00027 | 0,00012 | |
| -0,013 | -0,025 | 0,00032 | 0,00060 | |
| -0,015 | -0,013 | 0,00019 | 0,00017 | |
| -0,011 | -0,015 | 0,00017 | 0,00023 | |
| 0,009 | -0,011 | -0,00011 | 0,00013 | |
| 0,032 | 0,009 | 0,00030 | 0,00009 | |
| Итого | -0,013 | -0,032 | 0,00129 | 0,00166 |
| Средняя | -0,0013 | -0,0032 | — | — |
| Сигма | 0,01579 | 0,0124841 | — | — |
| D | 0,0002493 | 0,0001559 | — | — |
Отклонения от показательного тренда находятся в заметной зависимости, которая, по оценке F-критерия, является статистически значимой и надёжной: 
. Нулевая гипотеза о несущественной связи отклонений должна быть отвергнута с 5%-ой вероятностью ошибки. Это означает, что показательный тренд не является лучшим, т.к. не аккумулирует в себе влияния всего комплекса существенных факторов, а оставляет часть этого влияния в отклонениях от тренда. Поэтому показательный тренд не следует рассматривать как лучший.
4. Остановимся на порядке построения и использования степенной модели в решении поставленных задач. В данной модели реализуется концепция мультипликативного механизма воздействия фактора на результат: 
. Построению модели предшествует процедура линеаризации исходного уравнения путём логарифмирования его элементов: 
. В расчёте параметров участвуют 
и 
. Необходимая для расчёта исходная и промежуточная информация представлена в табл. 6.
Расчёт определителей приводит к следующим результатам:
;
;
.
Значения параметров линеаризованного уравнения составят:
; 
,
а уравнение линейное в линейной форме имеет вид:
.
Таблица 6
| Годы |
|
| 
| 
| 
|
| 
|
| 0,000 | 4,321 | 0,000 | 0,000 | 4,346 | -0,025 | 0,00063 | |
| 0,693 | 4,301 | 0,480 | 2,981 | 4,291 | 0,010 | 0,00010 | |
| 1,099 | 4,278 | 1,207 | 4,700 | 4,259 | 0,019 | 0,00036 | |
| 1,386 | 4,261 | 1,922 | 5,907 | 4,236 | 0,025 | 0,00063 | |
| 1,609 | 4,227 | 2,590 | 6,803 | 4,219 | 0,008 | 0,00006 | |
| 1,792 | 4,196 | 3,210 | 7,518 | 4,204 | -0,009 | 0,00008 | |
| 1,946 | 4,190 | 3,787 | 8,153 | 4,192 | -0,002 | 0,00000 | |
| 2,079 | 4,170 | 4,324 | 8,671 | 4,182 | -0,012 | 0,00014 | |
| 2,197 | 4,156 | 4,828 | 9,131 | 4,172 | -0,016 | 0,00026 | |
| 2,303 | 4,159 | 5,302 | 9,576 | 4,164 | -0,005 | 0,00003 | |
| 2,398 | 4,164 | 5,750 | 9,984 | 4,156 | 0,007 | 0,00005 | |
| Итого | 17,502 | 46,422 | 33,400 | 73,424 | 46,422 | 0,000 | 0,00234 |
| Средняя | 1,591 | 4,220 | — | — | — | — | 0,00021 |
| Сигма | 0,710 | 0,058 | — | — | — | — | — |
| D | 0,505 | 0,0034 | — | — | — | — | — |
После процедуры потенцирования получаем уравнения в естественной форме:
или иначе 
.
В модели нашло отражение единственная тенденция устойчивого сокращения численности занятых со снижающимся темпом этого сокращения. Если использовать модель для прогноза, то это будет прогноз снижения численности занятых, но при этом, процент её (численности) сокращения год от года будет уменьшаться.
Степенная модель выявляет связь, которая оценивается как весьма тесная и статистически значимая: 
. 
.
Особо отметим, что в данном случае, так же, как и при оценке тесноты связи показательной модели, расчёты общей и остаточной дисперсий проводятся по линеаризованным значениям признака-результата, то есть по и
Расчёт ошибки аппроксимации приводится в табл. 7. Её значение очень невелико и составляет 1,7%. При отсутствии автокорреляции в отклонениях от тренда степенная модель может использоваться для прогноза без формальных ограничений.
Таблица 7.
| Годы |
|
| 
|
|
|
|
| 
|
| 77,2 | -1,9 | 3,6 | 2,8 | -0,025 | — | — | — | |
| 73,1 | 0,7 | 0,5 | 1,1 | 0,010 | -0,025 | -0,00025 | 0,000610 | |
| 70,8 | 1,3 | 1,7 | 2,0 | 0,019 | 0,010 | 0,00019 | 0,000101 | |
| 69,2 | 1,7 | 2,9 | 2,6 | 0,025 | 0,019 | 0,00047 | 0,000355 | |
| 67,9 | 0,6 | 0,4 | 0,8 | 0,008 | 0,025 | 0,00020 | 0,000617 | |
| 67,0 | -0,6 | 0,4 | 0,8 | -0,009 | 0,008 | -0,00007 | 0,000065 | |
| 66,2 | -0,2 | 0,0 | 0,2 | -0,002 | -0,009 | 0,00002 | 0,000074 | |
| 65,5 | -0,8 | 0,6 | 1,1 | -0,012 | -0,002 | 0,00003 | 0,000006 | |
| 64,9 | -1,1 | 1,2 | 1,6 | -0,016 | -0,012 | 0,00019 | 0,000139 | |
| 64,3 | -0,3 | 0,1 | 0,5 | -0,005 | -0,016 | 0,00008 | 0,000271 | |
| 63,8 | 0,5 | 0,3 | 0,7 | 0,007 | -0,005 | -0,00004 | 0,000025 | |
| Итого | 749,73 | 0,1 | 11,7 | 14,1 | 0,025 | -0,007 | 0,00083 | 0,002265 |
| Средняя | — | — | 1,06 | 1,3 | 0,0025 | -0,0007 | — | — |
| D | — | — | — | — | 0,01283 | 0,01503 | — | — |
В табл. 7 приводятся результаты проверки остатков на их автокоррелированность. В результате установлено, что в остатках существует умеренная связь, но она не является статистически значимой, то есть ряд отклонений представляют собой случайную переменную.
; 
; 
; 
.
Следовательно, нулевая гипотеза о статистической незначимости взаимосвязи отклонений от степенного тренда должна быть принята, при том, что вероятность допустить ошибку не превысит общепринятого 5% уровня.
Следовательно, степенной тренд отражает влияние комплекса систематических факторов и после исключения этого влияния из фактических уровней в них остаются значения, случайные по своей природе. Поэтому нет формальных ограничений на использование степенной модели в прогнозных расчётах.
5.Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка и оценим возможность её использования для выполнения прогнозов.
Значения параметров рассчитаем, используя определители третьего порядка, формулы которых приведены в решении типовой задачи №1. Необходимые данные представлены в табл. 8. В результате получены следующие значения определителей системы нормальных уравнений:
Таблица 8
| Годы |
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
| 75,3 | 75,3 | 75,3 | 75,9 | -0,6 | 0,36 | 0,9 | |||||
| 73,8 | 147,6 | 295,2 | 73,7 | 0,1 | 0,01 | 0,1 | |||||
| 72,1 | 216,3 | 648,9 | 71,7 | 0,4 | 0,16 | 0,6 | |||||
| 70,9 | 283,6 | 1134,4 | 69,9 | 1,0 | 1,00 | 1,4 | |||||
| 68,5 | 342,5 | 1712,5 | 68,4 | 0,1 | 0,01 | 0,2 | |||||
| 66,4 | 398,4 | 2390,4 | 67,0 | -0,6 | 0,36 | 0,9 | |||||
| 66,0 | 462,0 | 65,9 | 0,1 | 0,01 | 0,1 | ||||||
| 64,7 | 517,6 | 4140,8 | 65,1 | -0,4 | 0,16 | 0,5 | |||||
| 63,8 | 574,2 | 5167,8 | 64,4 | -0,6 | 0,36 | 0,9 | |||||
| 64,0 | 640,0 | 64,0 | 0,0 | 0,00 | 0,0 | ||||||
| 64,3 | 707,3 | 7780,3 | 63,8 | 0,5 | 0,25 | 0,8 | |||||
| Итого | 749,8 | 4364,8 | 32979,6 | 749,8 | 0,0 | 2,68 | 6,5 | ||||
| Средняя | 68,2 | — | — | — | — | — | — | — | 0,24 | 0,6 | |
| Сигма | 4,01 | 3,16 | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| D | 16,08 | 10,0 | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
; 
; 
; 
; 
; 
.
Уравнение параболы второго порядка имеет вид: 
. Знак минус у коэффициента регрессии а2 указывает на то, что парабола обращена своей вершиной вниз. То есть, у параболы есть точка минимума, в которой результат принимает наименьшее значение. Достигается это минимальное значение при условии равенства нулю первой производной данной функции. В нашем примере 
или 
. Отсюда 
.
В соответствии с используемой моделью параболы второго порядка численность занятых в экономике РФ будет наименьшей в период между 11 и 12 годами, то есть в период 2000-2001 года. В этот момент численность занятых достигнет своего минимального значения в 63,8 млн. чел.:
(млн. чел.).
Начиная с этого момента, в соответствии с рассматриваемой моделью, численность занятых в экономике РФ будет постепенно увеличиваться. Проблема состоит в том, чтобы определить те временные границы, в которых рассматриваемая модель может использоваться с наибольшей результативностью, т.е. давать наиболее точные и достоверные прогнозы.
Для нас важной особенностью представляемой модели является то, что в ней реализуется гипотеза о стабилизации процесса снижения численности занятых и следующего за ним процесса постепенного увеличения контингента занятых. Но, при этом, очень важно, чтобы для модели были характерны высокие оценочные параметры.
В гр. 9, 10 и 11 представлены данные для расчёта показателей тесноты описанной параболой связи. Уравнение выявило весьма тесную связь ( 
), которая на 98,5% детерминирована системой устойчивых, статистически значимых факторов. Об этом говорит F-критерий, фактическое значение которого в десятки раз превышает его табличное значение: 
при d.f.1=2; d.f.2=8 при α=0,05.
Ошибка аппроксимации имеет весьма малое значение: =0,6%, что указывает на хорошие перспективы при использовании модели для прогнозных расчётов.
В табл. 9 представлены данные для проверки наличия автокорреляции в отклонениях фактических уровней ряда от теоретических, рассчитанных по уравнению параболы.
Рассчитаем определители для коэффициента регрессии отклонений с1 и по ним определим его значение: 
С помощью коэффициента регрессии отклонений (с1) и значений средних квадратических отклонений каждого ряда остатков ( 
и 
) определим коэффициент автокорреляции:
; 
.
Таблица 9.
| Годы |
|
|
|
|
|
| 77,2 | -0,6 | — | — | — | |
| 73,1 | 0,1 | -0,6 | -0,06 | 0,36 | |
| 70,8 | 0,4 | 0,1 | 0,04 | 0,01 | |
| 69,2 | 1,0 | 0,4 | 0,40 | 0,16 | |
| 67,9 | 0,1 | 1,0 | 0,10 | 1,00 | |
| 67,0 | -0,6 | 0,1 | -0,06 | 0,01 | |
| 66,2 | 0,1 | -0,6 | -0,06 | 0,36 | |
| 65,5 | -0,4 | 0,1 | -0,04 | 0,01 | |
| 64,9 | -0,6 | -0,4 | 0,24 | 0,16 | |
| 64,3 | 0,0 | -0,6 | -0,00 | 0,36 | |
| 63,8 | 0,5 | 0,0 | 0,00 | 0,00 | |
| Итого | 749,73 | 0,6 | -0,5 | 0,56 | 2,43 |
| Средняя | — | 0,06 | -0,05 | — | — |
| D | — | 0,476 | 0,491 | — | — |
Как показали расчёты коэффициента автокорреляции, отклонения от параболического тренда находятся в слабой взаимосвязи, которая не является статистически значимой, устойчивой и надёжной. То есть, парабола наилучшим образом отражает форму основной тенденции в фактических уровнях.
Кроме того, парабола способна реализовать прогноз, основанный на предположении о постепенной стабилизации численности занятых с её последующим увеличением. В качестве альтернативы может быть рассмотрен прогноз, основанный на гипотезе о снижающейся численности занятых, но с затухающими темпами этого снижения, то есть вариант стабилизирующейся численности занятых. Указанный вариант прогноза может быть выполнен либо по уравнению равносторонней гиперболы, либо по степенной модели. Окончательный выбор вариантов прогноза может быть сделан по результатам анализа оперативной информации о текущих изменениях численности занятых в экономике РФ.
Заканчиваем решение задачи выполнением прогноза по параболе второго порядка. Прогноз выполним на четыре года: на 2001 – 2004 гг. Условный фактор – фактор времени t, примет прогнозные значения, продолжающие натуральный ряд чисел, использованных для его обозначения. То есть, 
При подстановке значений 
и 
в уравнение параболы и после выполнения соответствующих расчётов получаем прогнозные значения численности занятых:
млн. чел.;
млн. чел.;
млн. чел.;
млн. чел.
По результатам прогноза по параболе численность занятого населения в ближайшие годы будет постепенно возрастать, достигая 64 – 65 млн. чел.
Задача №7.
Данные о стоимости экспорта ( 
) и импорта ( 
) Франции, млрд. $, приводятся за период с 1991 по 2000 г.
В уровнях рядов выявлены линейные тренды:
для экспорта - 
, а для импорта – 
.
По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: 
и 
| Годы | Экспорт ( )
| Импорт ( )
| ||
 .
|
| 
|
| |
Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:
| Mt | Zt | t | |
| Mt | 0,9606 | 0,8836 | |
| Zt | 0,9606 | 0,8629 | |
| T | 0,8836 | 0,8629 | |
| Итого | |||
| Средняя | 266,6 | 260,7 | 5,5 |
| 35,579 | 30,845 | 2,872 |
Задание:
1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( 
и 
);
2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: 
; 2) уровней рядов: 
и 3) коэффициент частной корреляции уровней: 
; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);
3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной с 
4. Проанализируйте полученные результаты.