Средняя арифметическая и ее свойства

Средняя арифметическая является самой распространенной из средних, применяемых в социально-экономическом анализе. Средняя арифметическая имеет 2 разновидности – простую и взвешенную.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по индивидуальным величинам одного и того же вида:

,

где x₁, x₂, …, x_n – индивидуальные значения признака (варианты), n – число индивидуальных величин.

Применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается одинаковое число раз, т.е. средняя рассчитывается по группированным единицам совокупности.

Пример 6.1. Вычислить средний возраст выпускника ВУЗа, возраст которого: 24, 22, 25, 24, 25, 24, 22, 22, 24, 26 лет.

Расчёт по средней арифметической простой:

года.

Чаще отдельные значения исследуемой совокупности встречаются не один, а много, причем неодинаковое число раз, т.е. представляют собой ряд распределения. В этих случаях рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную:

,

где f_i - частота (вес) повторения i-й варианты.

Пример 6.2. Для предыдущего примера сгруппируем возраст выпускников по их числу.

Возраст, xi	Число выпускников, fi	Сумма возрастов, xi·fi
Сумма

.

Также часто группировочные признаки представлены не одной величиной, а в определенных интервалах, такие ряды называются интервальными. Средняя арифметическая интервального ряда рассчитывается следующим образом:

,

где - середина i-го интервала, - верхняя граница i-го интервала, - нижняя граница i-го интервала, f_i - частота (вес) i-го интервала.

 

Пример 6.3. Распределение рабочих предприятия по возрасту следующее

 

Группы рабочих по возрасту, лет	Число рабочих, fi	Середина интервала,
До 20		18,5
20-30
30-40
40-50
Старше 50		57,5
Итого		-

 

Минимальный возраст в первом интервале можно считать 17 (выпускники техникумов), максимальный возраст в последнем интервале – 65 (5 лет после пенсионного возраста мужчин). Тогда средний возраст рабочих составит

лет.

Свойства средней арифметической:

1) Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин.

Если x_i=y_i+z_i, то

.

2) Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равна 0.

 

3) Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число, то средняя уменьшится или увеличится на то же число.

4) Если все варианты ряда умножить или разделить на одно и то же число, то средняя уменьшится или увеличится во столько же раз.

5) Если все частоты разделить или умножить на одно и то же число, то средняя не изменится.

Это свойство даёт возможность частоты заменять их удельными весами

,

где р - удельный вес, выраженный в процентах.

Если удельный вес выражается в долях, то .