Автокорреляционная функция

При наличии во временном ряде тренда и циклической компоненты значения каждого последующего уровня ряда становятся зависящими от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Пусть

и –

две последовательности наблюдений временного ряда, сдвинутые друг относительно друга на l единиц, или, как говорят, с лагом l . Степень тесноты линейной связи между ними может быть оценена с помощью выборочного коэффициента корреляции

 

. (7.6)

 

Так как коэффициент r(l) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют выборочным коэффициентом автокорреляции (или просто коэффициентом автокорреляции), зависимость r(l) – автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если l = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка; если l = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка и т. д.

При расчете r(l) следует помнить, что с увеличением l число (n – l) пар наблюдений y_t, y_{t + l} (t = 1, 2, …, n – l) уменьшается. Поэтому лаг l должен быть таким, чтобы число (n – l) было достаточным для определения r(l). Обычно ориентируются на соотношение l £ n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг l, при котором автокорреляция r(l) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается r(1), то исследуемый ряд содержит только тренд. Если наиболее высоким оказался r(l), то ряд содержит (помимо тренда) колебания с периодом l. Если ни один из r(1), r(2), …, r(l) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

· либо временной ряд не содержит тренда и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

· либо ряд содержит сильный нелинейный тренд, для выявления которого нужен дополнительный анализ.

Пример 7.2. По данным временного ряда примера 7.1 выявить его структуру.

Решение. Поскольку n/4 = 8/4 = 2, то в соответствии с приведенной выше рекомендацией будем рассматривать коэффициенты автокорреляции r(l) временного ряда для лагов l = 1, 2.

Найдем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r(1), т.е. коэффициент корреляции между последовательностями (n – l) = 8 – 1 = 7 пар наблюдений y_t и y_{t + 1} (t = 1, 2, …, 7):

 

yt
yt + 1

 

Вычисляем необходимые суммы:

.

 

Теперь по формуле (7.3) коэффициент автокорреляции 1-го порядка

 

.

Коэффициент автокорреляции r(2) 2-го порядка между членами ряда наблюдений y_t и y_t+2 (t = 1, 2, …, 6) по шести парам наблюдений вычисляется аналогично: r(2) = 0, 842.

Так как r(2) > r(1), то полагаем, что анализируемый временной ряд содержит трендовую составляющую и циклическую составляющую с периодом 2 года. g