Гидродинамическое подобие

Заключение

Исследование процессов методом теории подобия должно состоять из следующих этапов:

1) Составив дифференциальные уравнения и установив условия однозначности, проводят подобное преобразование этих уравнений и находят критерии подобия.

2) Опытным путём на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между критериями подобия.

Обычно представляют: т.е. в виде степенных зависимостей.

Численные показатели степеней и коэффициент А определяются экспериментально на модели.

Необходимо отметить двоякую роль критериев подобия:

1)Значения критериев обеспечивают количественный перенос результатов опыта на оригинал (численное равенство критериев);

2)На основе критериев определяют, какой должна быть модель, чтобы обеспечит условия моделирования.

Пример: течение жидкости по трубопроводу:

Форма модели определяется условиями геометрического подобия.

Размеры определяется соображениями целесообразности (большая - дорогая, малая – зависит от погрешности).

Для подобия необходимо:

;

Для одной жидкости ():

Таким образом, скорость жидкости в модели должна быть обратно пропорциональна её размеру, т.е. чем меньше модель, тем больше скорость.

Запишем уравнение Навье-Стокса для одномерного движения несжимаемой жидкости, когда изменяется только в направлении оси Z:

В этом уравнении левая часть учитывает действие силы инерции в правой части член сила тяжести, член силы гидростатического давления, а силы вязкого трения.

По теореме

Критерии гидродинамического подобия получим путём деления каждого члена уравнения на один из других, отбрасывая при этом знаки математических операторов (плюс, минус, дифференцирования):

1.

 

Это критерий Эйлера:

Физический смысл: выражает меру отношения силы гидростатического давления к силам инерции в подобных потоках.

Этот критерий определяемый, равенство его в подобных системах является следствием подобия.

 

2.

(заменить z на )

Это критерий Рейнольдса:

Физический смысл: выражает меру отношения инерционных и вязкостных сил в подобных потоках.

Это определяющий критерий, его равенство является необходимым условием подобия.

3.

Это критерий Фруда:

Физический смысл: выражает меру отношения инерционных и гравитационных сил (сил тяжести) в подобных потоках.

 

4.

Это критерий гомохронности:

Физический смысл: выражает меру отношения локального изменения инерционных сил к конвективному, и учитывает неустановившейся характер движения в подобных потоках.

Применяется только при неустановившемся режиме; для установившихся процессов и критерий выпадает.

Это определяющий критерий, неустановившиеся процессы могут быть подобны лишь в том случае, если подобные изменения всех переменных в сходственных точках будут проходить в интервалы времени, определяемые требованием:

По теореме

Решение уравнения Навье-Стокса можно представить в виде функциональной зависимости между полученными критериями подобия:

В ряде случаев эта зависимость должна быть дополнена параметрическими критериями это отношение одноименных величин (инвариант, симплекс геометрического подобия) = idem для сходных точек подобных систем.

Все критерии, кроме , являются определяющими, т.к. составлены исключительно из величин, входящих в условия однозначности.

В критерий входит величина , значение которой при движении по трубе полностью определяется формой и размерами , физическими свойствами жидкости и распределением скоростей на входе в трубу и её стоках (начальные и граничные условия).

По теореме

Следовательно, для подобия необходимо и достаточно:

Следствием выполнения этих условий будет:

Это критериальное уравнение гидродинамики.

Из критериального уравнения определяют , а из него – потерю напора при движении жидкости.

Зависимость представляют обычно в виде степенной:

Показатели m; n;p и A определяются опытным путём.

В ряде случаев критериальное уравнение упрощается, когда процесс не зависит от какого-либо критерия, т.е. является автомодельным по нему:

1. В случае установившегося движения исключается критерий гомохронности:

2. При установившемся видимом движении жидкости в горизонтальной трубе влияние собственного веса (силы тяжести) на перепад давления мало и можно записать:

Но при истечении жидкостей критерий необходимо учитывать.

Необходимо отметить, что число критериев подобия, зависимость между которыми заменяет дифференциальное уравнение, на единицу меньше членов этого уравнения (например, членов уравнения 5, число критериев

5-1=4).

К этому присоединяются параметрические критерии, число которых зависит от числа пар одноименных величин (одноименные 2x,z; одна пара = один параметрический критерий).