Экспоненциальное сглаживание

Экспоненциальное сглаживание временного ряда yt осуществляется по рекуррентной формуле

, (4.8.1)

где St- значение экспоненциальной средней в момент времени t;

a – параметр сглаживания (0<a<1);

b =1-a.

Выражение (4.8.1) можно переписать следующим образом

(4.8.2)

В формуле (4.8.2) экспоненциальная средняя на момент времени t выражена как сумма экспоненциальной средней предшествующего периода St-1 и доли a разницы текущего значения временного ряда yt и экспоненциальной средней St-1.

Последовательное применение рекуррентной формулы (4.8.1) приводит к следующему выражению для St

,

где n – число точек временного ряда;

S0 - некоторая начальная величина, необходимая для первого

применения формулы (4.8.1).

Так как b<1, то при n , а сумма коэффициентов и

, (4.8.3)

т.е. St оказывается взвешенной суммой всех уровней временного ряда. При этом веса падают экспоненциально с возрастанием «возраста» данных.

Рассмотрим стационарный процесс следующего вида

.

Для такого процесса

(4.8.4)

Найдем математическое ожидание и дисперсию St, воспользовавшись формулой (4.8.4).

Так как , то

.

Таким образом, экспоненциальная средняя St имеет то же математическое ожидание, что и yt , но меньшую дисперсию.

Экспоненциальная средняя St может быть использована не только для сглаживания временного ряда, но и для краткосрочного прогнозирования.

Прогнозная модель имеет вид

,

где - прогноз, сделанный в момент времени t на t единиц времени вперед.

Отметим, что все свойства экспоненциальной средней распространяются на прогнозную модель. В частности, если St-1 рассматривать как прогноз на 1 шаг вперед в момент времени t-1, то величина yt-St-1 представляет собой погрешность этого прогноза, а новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки по формуле (4.8.2). В этом и состоит суть адаптации.

При краткосрочном прогнозировании желательно с одной стороны быстро отразить изменение среднего уровня, а с другой – очистить ряд от случайных колебаний.

Для выполнения первого требования величину a следует увеличить, а для выполнения второго – уменьшить. Таким образом, эти два требования находятся в противоречии и необходим некий компромисс.

Рассмотрим вопрос выбора параметра a. При St= S0, т.е. адаптация полностью отсутствует, а при имеет место так называемая «наивная» модель прогнозирования

,

в соответствии с которой прогноз на любой срок равен текущему (последнему) значению временного ряда. В ряде работ рекомендовано брать значение a в пределах от 0,1 до 0,3, однако эта рекомендация по сути не имеет должного обоснования.

Выбор начального значения S0 всегда вызывает вопрос, однако если параметр a велик, то величина быстро убывает с ростом i и влияние S0 на величину St становится несущественным.

 

ПРИМЕР

Для иллюстрации процедуры расчета экспоненциальной средней рассмотрим пример сглаживания динамики курса акций фирмы IBM, производящей ЭВМ (табл. 4.4).

 

Табл.4.4

Экспоненциальные средние

Номер точки Исход-ный ряд Номер точки Исход-ный ряд
506,4 508,0 509,6 505,7 513,3 513,1
505,5 502,5 498,3 506,1 511,7 510,3
505,3 503,2 503,4 506,1 508,8 506,4
505,8 506,6 509,3 507,0 511,9 514,1
506,1 507,8 509,0 508,5 517,0 521,2
505,8 505,4 503,6 509,9 520,0 522,8
505,2 502,7 500,4 511,6 523,5 526,6
504,7 501,4 500,0 512,8 523,2 523,4
504,2 500,7 500,0 514,3 525,6 527,5
503,3 497,8 495,5 515,8 527,3 528,9
502,4 495,9 494,2 518,0 532,7 537,1
502,0 497,5 498,5 520,1 525,8 538,8
502,0 499,7 501,2 522,2 538,4 540,8
502,7 504,4 508,3 524,3 540,7 542,8
505,0 514,7 523,3 525,9 540,9 541,2

 

При проведении расчетов начальное значение экспоненциальной средней S0 было принято равным средней арифметической из первых 5 уровней ряда

В нашем случае

Дальнейшие вычисления при выглядят следующим образом

и т. д.

Результаты вычислений экспоненциальных средних при a=0,1, a=0,5 и a=0,9 приведены в табл. 4align="center">