Пример.

Рассмотрим систему одновременных уравнений

 

(3.1.1)

,

где y₁ – спрос-предложение;

y₂ – цена;

х₁ – уровень доходов.

В рассматриваемой модели цена и спрос-предложение рассматриваются как эндогенные переменные, а доход – как экзогенная переменная. Предполагается, что экзогенные переменные определяются вне системы и поэтому не коррелируют со случайными компонентами, отражающим влияние неучтенных факторов. Эндогенные переменные, определяемые из уравнений системы, имеют ненулевую корреляцию со случайными компонентами.

Действительно, разрешая уравнения относительно эндогенных переменных, получим

Отсюда

(3.1.2)

.

Нетрудно убедиться, что и .

Таким образом, нарушаются основные предположения регрессионного анализа, что приводит к потере свойств оценок, получаемых методом наименьших квадратов (появляется смещенность и исчезает состоятельность оценок). Поэтому непосредственное применение метода наименьших квадратов приводит к грубым ошибкам.

 

3.2. СТРУКТУРНАЯ И ПРИВЕДЕННАЯ ФОРМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. УСЛОВИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ.

 

Система уравнений (3.1.1) называется структурной формой модели, а ее коэффициенты – структурными коэффициентами. Система (3.1.2) называется приведенной формой модели.

Обозначим

; ; ; .

 

 

Тогда систему уравнений (3.1.2) можно переписать в виде

(3.2.1)

.

В системе (3.2.1) объясняющая переменная х₁ является экзогенной переменной и, следовательно, независима со случайными компонентами v₁ и v₂. Метод наименьших квадратов дает состоятельные оценки и .

Очевидно, что . Можно показать, что будет состоятельной оценкой структурного коэффициента .

Такой метод построения оценок структурных коэффициентов с помощью оценок коэффициентов приведенной формы называется косвенным методом наименьших квадратов.

Вместе с тем, коэффициенты и не могут быть найдены, т. е. они неидентифицируемые.

В общем случае под идентифицируемостью понимают возможность определения структурных коэффициентов уравнений по коэффициентам приведенной формы.

Проблема идентификации – это проблема единственности соответствия между приведенной и структурной формами. Приведенная форма в полном виде имеет nm параметров, а структурная – n(n-1+m) параметров. Ясно, что n(n-1+m) оценокпараметров структурной формы в общем случае невозможно получить единственным образом на основе nm параметров приведенной формы.

Необходимое условие идентифицируемости – выполнение следующего правила:

- уравнение идентифицируемое;

- уравнение неидентифицируемое;

- уравнение сверх идентифицируемое,

где Н – число эндогенных переменных в уравнении;

D – число предопределенных переменных системы, отсутствующих в уравнении.

Для сверх идентифицированных уравнений используется двухшаговый метод наименьших квадратов, который заключается в следующем:

- составляют приведенную форму модели и определяют ее параметры обычным МНК;

- выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, и находят их расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

- обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части структурного уравнения.

 

Пример.

Имеется следующая система структурных уравнений

.

Приведенная система уравнений после оценки параметров методом наименьших квадратов имеет вид

Для первого уравнения H=2, D=1 (отсутствует х₄) и , т. е. уравнение является идентифицируемым.

Для второго уравнения H=2, D=1 (отсутствует х₂) и , т. е. уравнение также является идентифицируемым.

Чтобы получить первое структурное уравнение из 1-го приведенного, выразим отсутствующий признак х₄ из 2-го приведенного уравнения:

После подстановки х₄ в первое приведенное уравнение и преобразований, получим

.

Для определения параметров 2-го структурного уравнения выразим отсутствующий во 2-ом структурном уравнении фактор х₂ из 1-го приведенного уравнения

 

После подстановки х₂ во второе приведенное уравнение, получим