Формирование портфеля ценных бумаг

 

Одна из интереснейших задач экономико-математического моделирования – формирование портфеля ценных бумаг на основе рядов цен на фондовом рынке. При этом часто от цен Р переходят к доходностям d. Доходность ценных бумаг определяется как разность между стоимостью ценной бумаги в настоящий и начальный моменты, отнесенная к стоимости в начальный момент

Доходности позволяют сопоставлять бумаги, сильно отличающиеся по цене. Часто используют логдоходности, вычисляемые не по ценам, а по их логарифмам. Это связано с негауссовским распределением отклонений цен от трендов и наличием в них “толстых хвостов”, то есть гетероскедастичности. Доходность портфеля определяется как сумма доходностей ценных бумаг, его составляющих, взвешенных на их доли в портфеле:

D = Σ d_i x_i

Требуется составить оптимальный портфель ценных бумаг по известным доходностям ценных бумаг за некоторый промежуток времени, имеющий максимальную доходность при заданном риске (портфель Марковица), или заданную доходность при минимальном риске. Мерой риска доходности одной бумаги является стандартное отклонение значений доходностей за некоторый промежуток времени. Если имеется тренд, то есть ряд не является стационарным, то его надо вычесть, а потом вычислять риск (СКО).

При отсутствии взаимной зависимости доходностей ценных бумаг (т.е. при нулевых коэффициентах корреляции) суммарная дисперсия равна сумме дисперсий S² = S х_i ² *S _i² , где х_i – количество (или процент) закупаемых ценных бумаг i-ой фирмы. При коэффициентах корреляции, равных ±1 суммарное стандартное отклонение (риск портфеля) S равно сумме стандартных отклонений S_i с соответствующими знаками. При составлении портфеля из ценных бумаг двух фирм квадрат риска равен

S² = x₁²*S₁² + x₂²*S₂² + 2x₁*x₂* Cov(d1,d2),

где ковариация Cov(d1,d2) = (S (d1i – d1cp)*(d2i – d2cp))/(N – 1 )

Если портфель составляется из ценных бумаг большего количества n фирм, то дисперсия портфеля (квадрат риска) вычисляется по формуле

S²= S S x_i*x_j* Cov(di,dj). Обозначим b_ij = Cov(di,dj), тогда

S² = x₁*x₁*b₁₁ + x₁*x₂*b₁₂ + … + x₁*x_n*b_1n

+ x₂*x₁*b₂₁ + x₂*x₂*b₂₂ + … + x₂*x_n*b_2n

………………………………………………….

+ x_n*x₁*b_n1 + x_n*x₂*b_n2 + … + x_n*x_n*b_nn

 

Далее приведен пример решения задачи составления портфеля с заданным доходом и минимальным риском. Заданы доходности четырех ценных бумаг за 16 периодов времени. Тренды в данном случае невелики и не вычитаются перед вычислением ковариационной матрицы.

Ковариационную матрицу можно вычислить с помощью Анализ данных – Ковариация. Программа выдаст только часть ковариационной матрицы, заполните ее целиком: матрица должна быть симметричной относительно диагонали. Начальные значения x_i заданы в столбце и продублированы с помощью формулы в строке x_j. Вычислите средние значения доходностей d_iср с помощью функции СРЗНАЧ и Доход = S x_i*d_iср.Вычислите матрицу x_i*x_j*Cov(d_i d_j). Для этого перемножьте х₁ из столбца на х₁ из строки и на b₁₁, фиксируя знаком $ столбец в первом сомножителе х₁ и строку во втором сомножителе х₁, затем скопируйте формулу вправо и вниз. Просуммируйте полученную матрицу. Вызовите Поиск решения. Целевая ячейка – сумма по матрице x_i*x_j*b_ij , ее надо минимизировать, изменяемые ячейки – x_i в столбце, они ³ 0, Доход ³ заданной величины (здесь 300). Установите ограничение на Сумму х, т.е. на расходы. Изменяя заданный доход, постройте график зависимости риска от дохода. Можно действовать по-другому: максимизировать доход при заданном риске. Учтите, что при некоторых сочетаниях дохода и расхода решения не существует.

		d1	d2	d3	d4		Корреляционная матрица
	1,02	3,64	5,90	5,76			d1	d2	d3	d4
	-1,06	0,67	4,37	4,39	d1	1,00
	0,66	-2,12	-1,59	12,64	d2	0,52	1,00
	2,49	4,24	4,56	5,17	d3	-0,08	0,79	1,00
	-0,80	-0,54	3,64	10,21	d4	0,11	-0,68	-0,86	1,00
	1,92	6,51	8,39	2,58
	1,29	4,94	6,06	3,91	Ковариационная матрица
	0,15	5,87	9,57	3,94		d1	d2	d3	d4	xi
	1,13	1,93	4,20	8,68	d1	1,59	1,79	-0,34	0,43	x1	0,00
	1,90	2,85	3,45	9,40	d2	1,79	7,40	6,81	-5,80	x2	0,00
	-1,20	3,64	10,87	2,47	d3	-0,34	6,81	10,0	-8,44	x3	25,4
	-1,88	-2,11	3,45	5,18	d4	0,43	-5,80	-8,44	9,68	x4	26,3
	-0,83	2,42	7,48	4,80
	0,13	0,26	3,04	7,23	хj	=x1	=x2	=x3	=x4	Сумма x
	0,74	4,74	8,37	4,17			25,4	26,37	51,82
	0,54	-0,11	1,80	10,84	Матрица xi*xj*Сov(di,dj)
Cред-нее	0,39	2,30	5,22	6,34		0,00		0,00	0,00
	x1*d1	x2*d2	x3*d3	x4*d4	Доход	0,00		0,00	0,00	Сумма по матрице
		132,9	167,0	300,0	0,00			-5667
	0,00		-5667
Заданный доход		Риск: корень из суммы по матрице	43,76071

Контрольные вопросы

1. Свойства временных рядов экономических переменных

2. Прогноз по временному ряду с сезонными колебаниями

3. Свойства рядов цен на фондовом рынке. Что такое портфель Марковица?

4. Автокорреляция случайного возмущения. Причины. Последствия

5. Стационарные и нестационарные стохастические процессы

6. Модели AR, MA и ARIMA, что такое векторная авторегрессия VAR