Стационарные и нестационарные стохастические процессы

Рассмотрим некоторые теоретические понятия и модели, применяемые для анализа рядов цен на фондовом рынке.

Временной ряд – это конечная реализация cтохастического процесса: генерации набора случайных переменных Y(t).

Стохастический процесс может быть стационарным и нестационарным. Процесс является стационарным, если

1. Математическое ожидание значений переменных не меняется.

2. Математическое ожидание дисперсий переменных не меняется.

3. Нет периодических флуктуаций.

Распознавание стационарности:

1. График: систематический рост или убывание, волны и зоны высокой волатильности (дисперсии) в длинном ряде сразу видны.

2. Автокорреляция (убывает при росте лага)

3. Тесты тренда: проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента при t.

4. Специальные тесты, включённые в пакеты компьютерных программ Stata, EViews и др., например, тест Дики-Фуллера (Dickey-Fuller) на единичный корень (Unit root).

Чисто случайный процесс, стационарный с отсутствием автокорреляции (Cor(ui/uk) = 0) называется Белый шум.

 

Пример нестационарного процесса – случайное блуждание

 

Y(t) = Y(t-1) + a(t)

где a(t) – белый шум.

Интересно, что процесс

Y(t) = 0,999*Y(t-1) + a(t)

является стационарным. Воспроизведите эти процессы на компьютере, добавляя к предыдущему члену ряда случайную величину с нулевым математическим ожиданием, например:

Y(t) = 0,999*Y(t-1) + (СЛЧИС() – 0,5)

 

Функция СЛЧИС создаёт случайные числа в диапазоне 0…1. Постройте коррелограммы и сравните их с коррелограммами цен на фондовом рынке.

Принципиальную возможность избавиться от нестационарности почему-то называют интегрируемость. Применяют различные способы избавления от нестационарности:

1. Вычитание тренда, что мы и делали в предыдущем разделе;

2. Использование разностей 1-го, 2-го и т.д. порядков, что можно делать только после сглаживания временного ряда (или энергетического спектра), иначе все эффекты будут подавлены статистическими флуктуациями: дисперсия разности равна сумме дисперсий.

Для исследования рядов цен на фондовом рынке применяются модели, использующие белый шум и авторегрессию, то есть взаимную зависимость уровней временного ряда.

Модель MA(q) (moving average) – линейная комбинация последовательных элементов белого шума

X(t) = a(t) – K1*a(t-1) – …. – K(q)*a(t-q)

 

Модель AR(p) (авторегрессия): линейная комбинация лаговых переменных

X(t) = b0 + b1*X(t-1) + …. + bp*X(t-p)

Особенно популярны их комбинации

ARMA(p,q) = AR(p) + MA(q)

и ARIMA(p, i ,q): то же, с интегрируемостью i –го порядка.

Особый интерес представляет модель векторная авторегрессия VAR, состоящая из многих уравнений, в которой левые (эндогенные) переменные зависят и от своих, и от чужих лаговых значений. Используя этот метод, профессор Кристофер Симз получил в 2012 году Нобелевскую премию за изучение влияния на экономику эффектов от единовременных потрясений и действий регуляторов, в частности, изменения процентных ставок центробанков. Согласно его модели, негативные эффекты от повышения ставок (снижение экономической активности) проявляются почти сразу же, тогда как положительных результатов, например сокращения инфляции, приходится ждать порой несколько лет. Вместе с ним Нобелевскую премию получил Томас Сарджент, который наблюдал за реакцией банков, компаний и индивидов при повышении и понижении инфляции. Базируясь на этих исследованиях, Томас Сарджент сформулировал теорию, согласно которой на действия людей влияют не шаги правительства как таковые, а их ожидание. В результате эффект от той или иной стратегии может оказаться не совсем таким, какого ожидали власти. На этих же принципах основана рефлексивная модель Джорджа Сороса: поведение людей, в том числе биржевых игроков, зависит от подаваемой им информации. Управляя потоками информации, можно управлять и “толпой” биржевых игроков, а значит, и ценами на бирже.