Ряды цен на фондовом рынке

В настоящее время используются различные методы прогнозирования на фондовом рынке, основанные на анализе временных рядов цен биржевых инструментов и индексов. Известны закономерности их формирования: тренды, непериодические колебания и статистические флуктуации. Предполагается, что после вычитания трендов остаётся зависимость между историческими данными и будущими уровнями временного ряда, то есть автокорреляции различных порядков в остатках. Это значит, что предпосылка теоремы Гаусса-Маркова нарушена, и требуются другие методы: технический анализ фондового рынка. В частности, для прогноза по волнообразным колебаниям уровней цен пытались применить ряды Фурье, существуют ассоциации любителей торговать по волнам Эллиотта, на них основан метод Брауна: аппроксимация части временного ряда прямой линией, синусом и косинусом.

Но возникает вопрос: насколько все эти методы обоснованы, каковы предпосылки их использования, какова вероятность правильного прогноза? Ответ на этот вопрос может дать изучение автокорреляций высоких порядков во временных рядах после вычитания трендов, иначе автокорреляции будут близки к 1.

Проанализируем временные ряды цен на фондовом рынке с использованием автокорреляций высоких порядков с целью обоснования методов прогнозирования с применением волнообразных колебаний. Применяемый алгоритм:

1. Считывание временных рядов из торговой системы, например, FINAM.

2. Оценка целесообразности работы с рядом, отбраковка рядов с резкими скачками цен и с отсутствием волнообразных колебаний.

3. Вычитание трендов.

4. Проверка остатков на стационарность.

5. Расчёт автокорреляций и построение коррелограмм

6. Классификация рядов и коррелограмм.

7. Оценка целесообразности применения методов технического анализа с использованием волнообразных колебаний.

8. Аппроксимация участка ряда функцией с синусоидой.

9. Оценка точности аппроксимации и прогноза.

Этапы обработки одного из рядов представлены на Рисунках 8.4 и 8.5.

Рис.8.4. График индекса NIKKEI, (первое значение - 6 мая 2010 г.) А,

график индекса NIKKEI с вычтенными трендами Б,

график индекса NIKKEI с вычтенными трендами и со смещением на 30 дней В.

Рис.8.5. Коррелограмма ряда индекса NIKKEI с вычтенными трендами.

На Рисунках 8.4Б и 8.4В представлены графики индекса NIKKEI с вычтенными трендами: исходный и со смещением на 30 дней. Коэффициент автокорреляции R(30) = 0,495. Видно, что графики до 85 дня довольно хорошо совпадают.

Исследования [ 6 ] показали, что полученные по разным временным рядам коррелограммы можно классифицировать, разбив на три группы, причём коррелограммы внутри двух групп имеют примерно одинаковый вид. Основным признаком деления служит первый и второй нули коррелограммы. Выделены три группы с порядками нулевой автокорреляции:

1) 6-8 и 16-25;

2) 11-13 и 21-25;

3) второй ноль больше 30.

Вторые нули, а также минимумы и максимумы группируются не так кучно. Некоторые типичные коррелограммы представлены на Рис. 8.6.

Рис.8.6. Типичные коррелограммы, полученные при обработке временных рядов: с широкими волнами А и с узкими Б.

Очень интересный результат – группировка угловых частот синусоидальной аппроксимации ω. Они чётко разделяются на три группы: ω = 0,112 ± 0,013, ω =0,25 ± 0,03 , ω =0,48 ± 0,04. При первом нуле коррелограммы 6-7 и втором не более 25 на графике цен обычно прослеживаются волны с ω = 0,25, то есть с периодом волны 25. При первом нуле коррелограммы 11-13 и втором не более 25 на графике цен также прослеживаются волны, но их периоды могут существенно различаться. В частности, такое сочетание может указывать на наличие длинных волн, с ω = 0,1 то есть с периодом волны 63. Совсем непредсказуемыми становятся периоды волн и целесообразность их использования, если первый ноль расположен >15, второй ноль > 40. При этом компьютер обычно выделяет высокочастотные колебания, соответствующие не волнам, а статистическим флуктуациям, что непригодно для прогнозирования.

Из всего вышеизложенного вытекает алгоритм прогнозирования цен на фондовом рынке:

1) отбросить ряды с резкими бросками цен;

2) вычесть из ряда тренды, используя средства Excel;

3) построить график остатков и оценить стационарность этого ряда;

4) построить коррелограмму по ряду остатков;

5) проанализировать вид коррелограммы; если очевидны короткие или длинные волны, можно применить синусоидальную аппроксимацию;

6) если перед сегодняшним днем на графике цен или остатков видны 1,5 - 3 волны, целесообразно применить синусоидальную аппроксимацию: постройте для области настройки функцию

Y^(t) = a + b t + d Sin(ωt+φ)

(модифицированная модель Брауна) ,

где Y^(t)- значение аппроксимирующей функции

t - время (день, час и др.)

a, b, d, ω, φ – коэффициенты аппроксимирующей функции.

Для оценки коэффициентов используется метод наименьших квадратов с применением сервиса Excel “Поиск решения”. Далее приведён пример аппроксимации части временного ряда индекса NIKKEI:

Таблица 8.3

Время	Цена	Y^ (t)	(Y^(t)-Цена)²		Изменяемые ячейки
	9473,48	9851,9	37550,6	a	10097,08
	9476,78	9839,1	21763,6	b	-11,55
	9701,32	9826,2	6545,97	d	-263,92
	9822,98	9813,4	28529,7	w	0,217
	9845,65	9800,6	16518,7	f	4,24
	10045,95	9787,7	62372,1
	10009,25	9774,9	17992,2

	9618,24	9415,747
	9653,51	9402,918
		Целевая функция:	Сумма 1120790,6

Вначале коэффициенты задаются произвольно (“опорный план”) и проводится вычисление функции Y^(t) в разумном диапазоне значений цен и на прогнозируемый период времени. Под “разумным диапазоном” следует понимать временной диапазон, в котором не было резких скачков цен и изменений тренда, и можно увидеть 1,5 – 2 волны. Обычно это 30-50 точек независимо от Δt. Затем вычисляется сумма квадратов отклонений (Y^(t)-Цена)², которая является целевой минимизируемой функцией изменяемых коэффициентов. Скорее всего, первая итерация даст плохой результат для коэффициента ω(видно на графике: волны или мелкие, или очень длинные), и его надо изменять вручную, запуская затем “Поиск решения”. Это связано с тем, что временной ряд представляет собой суперпозицию непериодических колебаний, в которых можно найти широкий спектр частот, и компьютер находит частоту, ближайшую к исходному значению.

Рис. 8.7. Нелинейная аппроксимация участка ряда NIKKEI.

Методика была проверена на графиках цен, взятых с сайта rts.ru . Для аппроксимации использовались 65–100 точек (на Рисунке 8.8 – до вертикальной черты), а сопоставление графика функции с реальными ценами в правой части диаграммы дает представление о точности прогноза. При значении R² в интервале настройки более 0,7 его значения в интервале прогноза также достаточно велики, обычно более 0,5

return false">ссылка скрыта

В целом, метод позволяет угадывать движение цены до 10 периодов с вероятностью более 50 %, но фаза третьей, а тем более четвертой волны обычно сдвигается, что приводит к ошибочным прогнозам.

Проведены эксперименты с включением в модель члена ct². В некоторых случаях он может повысить точность прогноза при наличии явных изгибов, но велика вероятность сильного расхождения прогнозных и реальных цен. Это связано с резким ростом дисперсий коэффициентов из-за увеличения количества регрессоров и корреляции t и t².

Рис. 8.8 Примеры использования синусоидальной аппроксимации

для прогноза цен на фондовом рынке.

Автокорреляции высоких порядков в остатках связаны с фрактальной структурой рядов цен на фондовом рынке, то есть с их подобием в разных масштабах времени. Фрактальная природа рынков капитала порождает циклы, тренды и множество справедливых (равновесных) цен [ 7 ]. Изучение фракталов не входит в нашу задачу, но проявление их и автокорреляций высоких порядков позволяют говорить о принципиальной возможности прогнозирования на фондовом рынке. Заметим, что на валютном рынке показатель фрактальности (Хёрста) существенно ниже [ 7 ], соответственно, прогнозы колебаний цен менее достоверны.