Обратите внимание, что возмущение входит в выражение ( ) как часть сомножителя. После логарифмирования получим
ln(Y) = ln(A) + b1*ln(X1) + b2*ln(X2) +ln(1+e),
или, после переопределения переменных
z = a + b1V1 + b2V2 +u
т.е. в результате логарифмирования модель стала линейной (выполнена линеаризация) и задача сведена к предыдущей.
Соответствующие функции регрессии
Ŷ = A*X1b1*X2b2
ln(Ŷ) = ln(A) + b1*ln(X1) + b2*ln(X2),
Этапы решения задачи:
1. Отсортируйте таблицу исходных данных по Х1 или по Х2 ( если хотите вычислить эластичность как функцию).
2. Постройте таблицу натуральных логарифмов Х1, Х2 и Y,
3. Постройте корреляционную матрицу логарифмов, используя сервис Корреляция.
| V1 | V2 | |
| V1 | ||
| V2 | 0,232 | |
| z | 0,580 | 0,634 |
4. Проведите вычисления коэффициентов модели a, b1, b2, используя функцию ЛИНЕЙН, сервис Регрессия или Поиск решения. В качестве зависимой переменной используйте z=ln(Y), В качестве влияющих переменных выделяйте оба столбика V1 и V2.
Таблица 7.5.
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| a | 0,456 | 1,158 | 0,394 | 0,703 |
| b1 | 0,343 | 0,162 | 2,112 | 0,064 |
| b2 | 0,659 | 0,271 | 2,434 | 0,038 |
Обратите внимание, что t-статистики, характеризующие значимость влияющих переменных, изменились. В линейной модели они были 0,856; 1,51 и 3,97.
5. Вычислите и Ŷ = ехр(z^ ). В данной модели коэффициенты b1 и b2 являются средними эластичностями Y по Х1 и Х2. Обратите внимание, что их сумма почти равна единице, что предполагали Кобб и Дуглас. При этом если основные фонды и оборотные активы номинируются в денежных единицах, то и Y будет иметь размерность денег.
6. Постройте точечную диаграмму Ŷ, Y. Обратите внимание на хорошую линейную зависимость этих величин и выпадающие точки: фирмы № 5 и № 8. Фирма № 5 имеет высокий доход при малых оборотных активах. Возможно, там платят зарплату “в конвертах” или держат нелегалов-гастарбайтеров. Фирма № 8 показывает малый доход при высоких основных фондах и нормальных оборотных активах. Значит, или средства там используются неэффективно, или занижают доход. Эти фирмы представляют особый интерес для аудиторов и налоговиков.
Рис. 7.3. Диаграмма Точечная зависимости Y^ и Y.
7. Вычислите эластичность Y по Х1, используя формулу
В Excel используется расчётная формула
Э = (Ŷ2 – Ŷ1)/( Ŷ1 + Ŷ2)/(X12 – X11)*(X11 + X12),
Где Ŷ1 и Ŷ2 – первое и второе значения Ŷ, X11 и X12 – первое и второе значения Х1. Скопируем формулу вниз, получим хаотичный набор чисел. Почему? На Ŷ и на эластичностьвлияет не только Х1, но и Х2, и движение от точки к точке по поверхности Ŷ(Х1, Х2) представляет собойпилообразную линию. Для получения “срезов” по поверхности Ŷ(X1,X2) надо фиксировать Х2, т.е. заполнить этот столбец одинаковыми значениями. Эластичности становятся одинаковыми и близкими к b1.
8. Оцените качество модели по индексу детерминации, статистике Фишера и t-статистикам коэффициентов. Уберите из данных фирмы № 5 и № 8, повторите настройку модели и оценку её качества.
9. Используйте модель для оптимизации плана инвестиций в основные фонды и оборотные активы. Для этого надо задать опорный план – начальные значения Х1 и Х2, вычислить их сумму и зависимый от них Ŷ. Вызовите “Поиск решения”, установите целевую ячейку Ŷ(X1план, X2план), изменяя ячейки X1план, X2план, ограничения Х1план, Х2план ³ 0, X1план+X2план £ заданной величины, здесь 500.
Таблица 7.6.
| Среднегодовая стоимость,млн.руб | |||||||||
| Номер | основных фондов Х1 | оборотных средств Х2 | Валовый доход за год,млн.руб. Y | V1 | V2 | z | z^ | Ŷ | Эластичность по Х1 |
| 2,83 | 3,99 | 3,81 | 4,06 | 57,83 | 0,398 | ||||
| 3,33 | 4,03 | 4,14 | 4,25 | 70,29 | 0,487 | ||||
| 3,91 | 4,14 | 4,73 | 4,53 | 92,68 | -4,291 | ||||
| 4,03 | 3,33 | 4,80 | 4,03 | 56,45 | 0,931 | ||||
| 4,58 | 3,83 | 4,32 | 4,55 | 94,88 | 1,716 | ||||
| 4,62 | 3,91 | 4,48 | 4,62 | 101,62 | -1,602 | ||||
| 4,74 | 3,58 | 4,38 | 4,44 | 85,02 | 65,895 | ||||
| 4,74 | 4,48 | 5,08 | 5,04 | 153,71 | -36,531 | ||||
| 4,75 | 3,99 | 4,70 | 4,72 | 111,73 | 25,568 | ||||
| 4,77 | 4,65 | 5,31 | 5,16 | 174,22 | -11,510 | ||||
| 4,82 | 3,74 | 4,03 | 4,57 | 96,86 | 3,054 | ||||
| 5,04 | 4,66 | 5,47 | 5,26 | 192,07 | |||||
| План | 4,61 | 4,61 | 5,07 | 159,40 | |||||
| X1+X2 | R-квадрат | 0,6001 | |||||||
| Бюджет | F | 6,7549 |
Аналогичным образом исследуйте модель Кобба-Дугласа
Ŷ = A0*Ka * Lb,
где Ŷ – выпуск продукции, К – затраты на основные фонды (капитал), L – затраты на труд. В таблице приведены данные в процентах к 1899 году.
Таблица 7.7.
| Год | K | L | Y | Год | K | L | Y | |
Исследуйте модель по всему временному интервалу 1899-1922 г.г. и по его первой, второй и третьей части, по интервалу 1899 – 1914 г.г. и сравните полученный прогноз на 1915-22 г.г. с реальными значениями Y, исследуйте в предположении b = 1 – a. Постройте графики K, L,Y, Ŷ.
Исследуйте модель с использованием Поиска решения и нелинеаризованной функции ( ). Используйте разные начальные значения коэффициентов, и вы получите разные решения; при этом графики Ŷ будут приблизительно совпадать. Это связано с коллинеарностью, то есть взаимной зависимостью K и L, а также с алгоритмами, используемыми в Поиске решения (Ньютона и др.), которые ищут минимум функции L=Se2, двигаясь от начальных значений. Но у нелинейной функции может быть несколько минимумов, и компьютер находит решение, ближайшее к начальным значениям.