Результаты воздействия гетероскедастичности и автокорреляции, оценённые методом Монте Карло.

и Дарбина-Уотсона DW = 2(1-Rавт). Здесь s²(E1), s²(E2) – дисперсии остатков в диапазонах е(1)…е(10) и е(11)…е(20), Rавт = КОРРЕЛ(е(1):е(19); е(2):е(20)).

Используются функции Excel ДИСП() и КОРРЕЛ().

5. Сохранение вычисленных a, b, y(30), R², F, GQ, DW.

6. Повторение п.п.3-5 много раз. В данном примере каждый опыт (имитации и расчёты с заданными возмущениями) повторялись 10000 раз.

7. Статистическая обработка и интерпретация накопленных результатов с использованием функций Excel СРЗНАЧ (средние значения), СТАНДОТКЛОН (стандартные отклонения). Использован также сервис “Гистограмма” из пакета “Анализ данных” для построения гистограмм частотных распределений.

На рисунках 1-2 представлены примеры у_идеал = 5+х, y_{имит i} , y^=a+bx, соответствующие восьми массивам ожидаемых значений возмущений п.2.

Рис.1.

3. Рис. 4.

Рис. 5.

.

Рис.5.2.

Результаты статистической обработки накопленных данных представлены в Таблице 5.2: средние значения (Ср), стандартные отклонения S, относительные погрешности (%) и процент аномальных значений. Аномальными считались значения параметров: F>4,35; GQ>5; DW<1,2 - DW>2,8.

Таблица 5.2.

Гистограмма DW и частоты GQ по опыту 1 (u(x)=4) представлены на рисунке 3 и в таблице 5.3.

Таблица 5.3.

Рис. 5.3.

ВЫВОДЫ. 1. Теоретическое значение погрешности коэффициента bравно 0,155; точечная оценка статистической погрешности прогнозного значения y^(30) равна 3,22; интервальная 5,14. При 10000 имитаций погрешность среднего значения bдолжна быть 0,00155, а y^(30) 0,0322. В Опытах 1, 2, 4 погрешности средних значений bукладываются в интервал 1 СКО, в Опытах 3 и 5 в 2 СКО. В Опытах 1-5 погрешности средних значений y^(30) укладываются в интервал 1 СКО, в Опыте 6 в 2 СКО. Можно сказать, что при разнице СКО остатков в 3 раза гетероскедастичность не приводит к значимым ошибкам, которые остаются в пределах статистических погрешностей оценок средних значений параметров. В связи с этим теряет смысл Взвешенныйметод наименьших квадратов (ВМНК), предполагающий искусственную корректировку остатков путём деления на их ожидаемые СКО. Результаты Опытов 2-5 показали, что погрешность прогноза зависит не от GQ, а близости больших возмущений к точке прогноза. Значит, СКО y^ без корректировки правильнее отражает истинную погрешность прогноза.

2. Во всех опытах обнаружена нулевая корреляция y^(30)и bсGQ и DW. Это видно и на Рисунке 5.4 (Опыт 2).

3. В Опытах 7 и 8 с положительной и отрицательной автокорреляцией обнаружено существенное смещение средних значений bиy^(30), в отличие от Опыта 6, где положительные и отрицательные сдвиги чередуются через 2 и DW близок к 2. Сильная отрицательная автокорреляция – экзотика, не характерная для реальной жизни. Положительная автокорреляция отклонений от тренда проявляется во временных рядах цен на фондовом рынке и означает, что надо применять другие методы и модели: авторегрессии (см. Раздел ), технический анализ фондового рынка и др. Возникает вопрос о целесообразности изучения и применения Обобщённого метода наименьших квадратов, основанного на преобразовании матриц (см. раздел 3.3), но с учётом корреляций остатков.

4. Относительная погрешность у^(30) меньше погрешностей a и b. Это связано с тем, что

s²(y^(30)= s²(a)+30²s²(b)+2Cov(a,bx) = s²(a)+30²s²(b)+2*30*s(a)*s(b)*Rab

где Rab коэффициент корреляции a и b. В наших опытах Rab = - 0,82… -0,96, формула близка к формуле квадрата разности, и s(y^(30) близок к модулю разности s(a) и 30s(b).

5. Случайное сочетание результатов измерений может имитировать гетероскедастичность и автокорреляцию, даже если нет порождающей их закономерности: в Опыте 1 2,42% тестов GQ превысили 5; 1% DW показал положительную автокорреляцию (<1,2) и 8,4% отрицательную (>2,8). На Рис.4 (Опыт 2) видны большие значения GQ. Были обнаружены огромные величины GQ, не коррелирующие с y^(30): 90 (y=40), 93 (y=39), 97 (y=34), 101 (y=33), 111 (y=35), 135 (y=35).

Рис. 5.4.