Вариационные ряды

Полученные различными способами отбора данные образуют выборку, обычно это множество чисел, расположенных в беспорядке. По такой выборке трудно выявить какую-либо закономерность их изменения (варьирования).

Для обработки данных используют операцию ранжирования, которая заключается в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, то есть наблюдаемые значения случайной величины располагают в порядке возрастания.

Пример 1. Дана выборка :

¦ Проведем ранжирование выборки : ˜

После проведения операции ранжирования значения случайной величины объединяют в группы, то есть группируют так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины одинаковы. Каждое такое значение называется вариантом. Варианты обозначаются строчными буквами латинского алфавита с индексами, соответствующими порядковому номеру группы .

Изменение значения варианта называется варьированием.

Определение. Последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Число, которое показывает, сколько раз встречаются соответствующие значения вариантов в ряде наблюдений, называется частотой или весом варианта и обозначается , где - номер варианта.

Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот называется относительной частотой или частостью (долей) соответствующего варианта и обозначается или , где - число вариантов. Частость является статистической вероятностью появления варианта . Естественно считать частость аналогом вероятности появления значения случайной величины .

Определение. Дискретным статистическим рядом называется ранжированная совокупность вариантов с соответствующими им частотами или частостями .

Дискретный статистический ряд удобно записывать в виде табл.1.

Таблица 1 (для примера 1)

						;
						.

 

Характеристики дискретного статистического ряда:

1. Размах варьирования .

2. Мода - вариант, имеющий наибольшую частоту

( в примере 1. ).

3. Медиана - значение случайной величины, приходящееся на середину ряда.

 

Пусть - объем выборки.

Если , то есть ряд имеет четное число членов, то . Если , то есть ряд имеет нечетное число членов, то .

( в примере 1. ).

 

Если изучаемая случайная величина является непрерывной или число значений ее велико, то составляют интервальный статистический ряд.

Сначала определяют число интервалов , в зависимости от объема выборки, с помощью табл.2.

Таблица 2.

Объем выборки	25-40	40-60	60-100	100-200	более 200
Число интервалов	5-6	6-8	7-10	8-12	10-15

 

Затем определяют длину частичного интервала :

, где - шаг ; - число интервалов .

Более точно шаг можно рассчитать с помощью формулы Стерджеса:

 

, число интервалов .

Если шаг окажется дробным, то за длину интервала берут ближайшее целое число или ближайшую простую дробь (обычно берут интервалы одинаковые по длине, но могут быть интервалы и разной длины).

За начало первого интервала рекомендуется брать величину , а конец последнего должен удовлетворять условию . Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала шаг.

Просматривая результаты наблюдений, определяют сколько значений случайной величины попало в каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения, большие или равные нижней границе интервала, и меньшие – верхней границы.

В первую строку таблицы статистического распределения вписывают частичные промежутки .

Во второю строку статистического ряда вписывают количество наблюдений (где ) попавших в каждый интервал; то есть частоты соответствующих интервалов.

Подсчет частот для каждого интервала удобно проводить методом «конвертиков». Этот метод состоит в том, что попадание значения случайной величины в тот или иной интервал, отмечается точкой, а также и черточкой. В результате каждому десятку будет соответствовать фигура, похожая на конверт.

 

При вычислении интервальных частостей округление результатов следует производить таким образом, чтобы сумма частостей была равна 1.

Иногда интервальный статистический ряд, для простоты исследований, условно заменяют дискретным. В этом случае серединное значение -го интервала принимают за вариант , а соответствующую интервальную частоту - за частоту этого варианта.