Описание общей модели Вальраса

Исходными концепциями модели Вальраса являются:

- дезагрегированность участников рынка т.е. рассматриваются отдельные потребители и отдельные производители;

- совершенность конкуренции;

- общность равновесия.

Последнее означает рассмотрение равновесия по всем товарам сразу, а не по отдельным товарам. Следовательно, в модели Вальраса вводится понятие общего равновесия (т.е. равновесия по всем товарам).

Будем предполагать, что на рынке продаются и покупаются товары двух видов: готовые товары, являющиеся продуктом производства (товары конечного потребления) и производственные ресурсы (первичные факторы производства). Поэтому будем рассматривать "расширенное" пространство товаров , где n - число видов всех товаров. Компонентами вектора являются как выпуски, так и затраты (первичные факторы). Для различения их, затраты снабжают отрицательным знаком (поэтому пишем , а не ). Если есть вектор чистого выпуска, то все его компоненты, соответствующие затратам, будут равны нулю; если есть вектор только первичных факторов, то все его компоненты, соответствующие конечным продуктам, будут равны нулю.

Индексы (виды) товаров, будем обозначать буквой , индексы потребителей – буквой i (i=1,...,n) и индексы производителей – буквой .

Через будем обозначать вектор цен товаров.

Выходя на рынок, каждый потребитель или производитель становится одновременно покупателем одних и продавцом других товаров. Потребитель, т.е. участник рынка, "непосредственно не занятый в производстве", может продавать имеющиеся в его распоряжении первичные факторы и покупает товары производителей. Производитель, т.е. участник рынка, "непосредственно занятый в производстве", продает свою готовую продукцию и покупает первичные факторы у потребителей.

Поэтому каждый потребитель i как участник рынка характеризуется тремя параметрами: начальным запасом товаров , функцией дохода и вектор-функцией спроса на продукты производства .

Каждый производитель j характеризуется двумя параметрами: вектор-функцией предложения готовой продукции и вектор-функцией спроса на затраты . Однако в модели Вальраса применяется несколько обобщенная характеристика производителя - с помощью одного множества , трактуемого как множество его (оптимальных) производственных планов. На языке "затраты-выпуск" это множество можно определить следующим образом: , где - производственная функция. Очевидно, .

С учетом всего вышесказанного, под математической моделью рынка будем понимать совокупность элементов:

где - пространство цен товаров, N- множество всех участников рынка (Nсодержит 1+mэлементов).

Как модель рынка, можно рассматривать совокупность

Природа элементов отличается от той, которая рассматривалась при изолированном рассмотрении потребительского и производственного секторов.

Во-первых, вектор содержит цены как товаров конечного потребления, так и затрат. Ранее в моделях все цены считались фиксированными. Здесь мы будем исходить из противоположной точки зрения - из изменчивости цен. Причем цены меняются не по желанию отдельных участников рынка, а исключительно под воздействием совокупного спроса и совокупного предложения.

Будем предполагать, что:

1. пространство цен P допускает существование нулевых цен.

2. каждый участник рынка выступает в двух лицах: как покупатель и как продавец. Очевидно, число продавцов и покупателей для разных товаров будет разным. Поэтому числа и не следует ассоциировать с числом продавцов и покупателей.

3. доход каждого потребителя предполагается состоящим из двух компонент: 1) выручки от продажи принадлежащего ему начального запаса товаров (b_i), 2) дохода, получаемого от его участия в прибыли производственного сектора (обозначим V_i), например, посредством приобретения ценных бумаг и других видов инвестиционной и трудовой деятельности. Таким образом, мы предполагаем, что

В модели Вальраса считается, что весь доход производственного сектора полностью распределяется между потребителями:

где , а скалярное произведение справа, с учетом структуры векторов , трактуется как прибыль всего производственного сектора. Заметим, что суммирование векторов осуществляется покомпонентно.

4. функции спроса , и предложения , которые можно представить себе как решения соответствующих оптимизационных задач, предполагаются векторными и множественнозначными. Например, для функции первое свойство означает, что , где - скалярная функция спроса на k-ый товар. Второе свойство означает, что функция D_i каждому k ставит в соответствие не один вектор , а множество таких векторов, т.е. . Это имеет место, например, когда максимум достигается не только в одной точке.

В модели Вальраса понятия совокупных спроса и предложения формализуются следующим образом.

Функцией совокупного (рыночного) спроса называется множественнозначная функция

Функцией совокупного (рыночного) предложения называется множественнозначная функция

Формализация функций совокупного спроса и предложения, позволяет модель рынка представить совокупностью вида

(5.32)

Любой вектор называется совокупным спросом (соответствующим вектору цен p); любой вектор - совокупным предложением (соответствующим вектору цен p). Эти векторы являются (оптимальными) реакциями совокупного покупателя и совокупного продавца на установившийся на рынке вектор цен. Если при этом x>y, то на рынке возникает дефицит товаров, а при x<y появляются их излишки. Такие цены не могут считаться удовлетворительными, так как в одном случае ущемлены интересы покупателей, а в другом - продавцов. Очевидно, наилучшим вариантом для экономики является равенство x=y. Этот идеальный случай на практике не всегда имеет место. Поэтому целесообразно как-то его ослабить.

В модели Вальраса допускается наиболее "гуманный" с точки зрения интересов потребителей вариант обобщения понятия экономического равновесия.

Набор векторов называется конкурентным равновесием на рынке (5.32) , если ,

	(5.33)
	(5.34)
	(5.35)

В этом случае p^* называется равновесным вектором цен.

По определению функций совокупных спроса и предложения, из включений (5.33) следует

т.е. совокупные спрос и предложение формируются как суммарные величины индивидуальных спросов потребителей и индивидуальных предложений производителей. Поэтому в развернутом виде условия равновесия (5.33) можно переписать так:

	(5.36)
	(5.37)
	(5.38)
	(5.39)

Экономическое содержание условий, определяющих конкурентное равновесие на рынке таково. Условие (5.33) показывает, что на цены p^* каждый потребитель и каждый производитель реагирует наилучшим образом. Это наглядно видно из соотношений (5.36) и (5.37). Условие (5.34) отслеживает, чтобы совокупное предложение не было меньше совокупного спроса. Условие (5.35) автоматически выполняется в том случае, если в (5.34) имеет место строгое равенство. В этом случае равновесие будет задано соотношениями:

условие (5.35) требует, чтобы в стоимостном выражении совокупный спрос равнялся совокупному предложению.

Модель рынка по Вальрасу построена. Как видим, центральное место в ней занимает понятие конкурентного равновесия. Привлекательность равновесия как состояния рынка (и экономики в целом), заключается в возможности реализации всех произведенных товаров и в удовлетворении спроса всех потребителей. Процесс формирования рыночных цен условно можно сравнить с работой некоторого алгоритма (автомата), состоящего из четырех блоков. В первом блоке P формируется вектор цен. Информация о векторе p поступает в блоки D и S, в которых формируются соответственно множества D(p) и S(p), содержание которых, в свою очередь, передается в блок R. В блоке R осуществляется попарное сравнение элементов , . Если существует пара или пары (x,y), для которых выполняется условие x=y (или условия (5.34), (5.35)), то процесс заканчивается. В противном случае цены p отвергаются, о чем поступает сигнал в блок P, где формируются новые цены. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найден равновесный вектор цен.

Утвердительный ответ на этот вопрос связан с разрешением двух важных проблем:

- установление факта существования конкурентного равновесия в модели Вальраса;

- разработка сходящейся к равновесной цене вычислительной процедуры (метода) формирования рыночных цен.

Существование равновесия в модели Вальраса не установлено. Причина заключается в уровне формализма этой модели - она весьма абстрактна. Конкретизируя определения составляющих ее элементов и уточняя их функциональные свойства, можно получить разные модификации модели Вальраса. Наиболее известная из них носит название модели Эрроу-Дебре, по именам ее создателей.

Проблема разработки численных методов вычисления равновесных цен связана с установлением необходимых и достаточных признаков равновесия. Нужно, чтобы они были конструктивными, т.е. порождали сходящуюся итеративную процедуру, каковой является, например, паутинообразная модель.