Линейные модели экономики

Цели и задачи изучения темы

Вопросы, изучаемые в рамках данной темы, позволяют студенту взглянуть на экономику глазами исследователя, пытающегося понять и формализовать мотивы поведения потребителей, производителей, финансистов. Данная тема ориентирована на системное изучение экономики с помощью математических моделей макро- и микроуровней, а также в разрезе важнейших функциональных подсистем экономики (производственной и финансово-кредитной).

При изучении темы рассматриваются следующие вопросы:

1. Линейные модели экономики

2. Модель Леонтьева «Затраты-выпуск»

3. Планирование производства в динамике (модель Неймана «расширяющейся» экономики)

4. Математическая теория потребления. Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров

5. Функция полезности как критерий оценки товаров

6. Предельный анализ и понятие эластичности в теории потребления

7. Оптимизационная модель задачи потребительского выбора. Уравнение Слуцкого

8. Математическая теория конкурентного равновесия

9. Рыночный спрос и рыночное предложение. Условия совершенной конкуренции. Модель Вальраса

Планирование выпуска на уровне отраслей

Часто при экономическом планировании на уровне регионов или страны в целом возникает необходимость определения объема выпуска товаров, обеспечивающего заданный спрос населения и производственные нужды на эти товары при известной технологии. В предположении о линейности технологии (т.е. о прямой пропорциональности объема выпуска объемам затрат ресурсов) математической формализацией этой задачи является знаменитая модель «Затраты-выпуск», полученная в 1930 г. американским экономистом В. Леонтьевым. Модель Леонтьева является частным случаем модели Вальраса. С точки зрения этой общей модели равновесия классическая (исходная) модель Леонтьева имеет следующие особенности:

· рассматривается экономика, состоящая из «чистых» отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;

· взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);

· вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;

· вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;

· равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

Приведем экономически обоснованную строгую аргументацию модели Леонтьева. Сначала рассмотрим наиболее упрощенный ее вариант.

В зависимости от цели исследования экономику можно изучать в различных разрезах - от уровня национальной экономики до уровня отдельных фирм и потребителей. Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде. Предполагается, что каждая отрасль является «чистой», т.е. выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Их не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации.

Вернемся к предпосылкам модели. Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.

Обозначим через n количество всех отраслей. Так как отрасли являются чистыми, индекс отрасли можно отождествить как с видом товара, так и с технологическим процессом.

Предположим, что на данном плановом периоде времени (например, на предстоящий год) известен конечный спрос на все n товаров. Пусть технология производства предписывает для выпуска одной единицы i -го товара количество товара вида 1, количество товара вида 2 и т.д., количество товара вида . Обозначим через объем производства отрасли i на всем плановом периоде (валовый выпуск). Тогда величина показывает объем продукции отрасли j , необходимый для функционирования отрасли i с планом выпуска , а величина

суммарное потребление продукции отрасли j в производственном секторе.

Наглядную картину межотраслевых связей при плане выпуска и плане конечного потребления показывает схема межотраслевого баланса рис 5.1

Отрасли как поставщики продуктов Отрасли как потребители ресурсов Потребление Валовой выпуск … n Производственное Конечное … … … … … … … … … … n …

Рис. 5.1. Схема межотраслевого баланса

Балансовый характер этой схемы заключается в том, что элементы последних трех столбцов в каждой строке должны удовлетворять равенству

(5.1)

Левую часть равенства (5.1)можно трактовать как итоговый (производственный плюс конечный) спрос на продукцию отрасли j (на j-ый товар), а правую - как предложение j-го товара. Поэтому, во-первых, уравнения (5.1) отражают общее равновесие (т.е. равновесие по всем видам товаров) в экономике. Во-вторых, система (5.1) показывает самодостаточность производства - для выпуска любого товара достаточно иметь воспроизведенную продукцию рассматриваемых отраслей. В-третьих, из уравнений (5.1) следует, что весь валовый выпуск полностью распределяется между потребителями. Последние два обстоятельства говорят о замкнутости экономики - нет поступления извне, и продукция не экспортируется.

Таким образом, схема межотраслевого баланса задает те условия, когда экономика будет находиться в равновесном состоянии. А именно, при известном спросе и известной постоянной технологии вектор валового выпуска должен вычисляться как решение системы n линейных уравнений (5.1)

Более сложную структуру имеет схема межотраслевого баланса в денежном выражении, которая состоит из четырех разделов: промежуточного продукта, конечного продукта, амортизации, вновь созданной стоимости и ее перераспределения. Подробные сведения для практического использования такой схемы можно найти, например, в книге Коссова В.В. «Межотраслевой баланс» - М.: «Экономика», 1966 г.

5.2. Модель Леонтьева «Затраты-выпуск»

Подставляя технологические коэффициенты в (5.1) для каждой отрасли получаем балансовое соотношение

С помощью технологической матрицы

эту систему уравнений можно написать в векторной форме:

(5.2)

Уравнение (5.2)где A - постоянная технологическая матрица, - известный вектор спроса, - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение как затраты, эту систему часто называют моделью «Затраты-выпуск».

Модель Леонтьева призвана ответить на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы

относительно переменных . Условия существования и единственности решения такой системы хорошо известны из курса алгебры. Однако здесь речь идет о решении этой системы, имеющем подходящий экономический смысл. А именно, все элементы модели Леонтьева по их определению являются неотрицательными величинами, в том числе переменные . Поэтому мы должны говорить о существовании неотрицательных решений системы (5.2)

Определение 5.1. Модель Леонтьева называется продуктивной, если система (5.2)имеет неотрицательное решение .

Перепишем систему (5.2) в виде . Тогда или

(5.3)

где E - единичная -матрица. Теперь видно, что существование неотрицательного решения системы (5.2) определяется существованием невырожденной матрицы , обратной к матрице .

Напомним, что матрица называется невырожденной, если она имеет обратную матрицу , определяемую условиями . Матрица B является невырожденной в том и только в том случае, если , где - детерминант (определитель) матрицы B. Обратная матрица существует и неотрицательна, если все главные миноры матрицы B положительны (условие Хокинса-Саймона):

Для того чтобы применить эти условия существования и невырожденности к матрице , приведем ряд дополнительных построений.

Система (5.2) является частным случаем (при ) более общей системы

(5.4)

где . Рассмотрим следующую, связанную с уравнением (5.4)систему

(5.5)

где - матрица с элементами

(5.6)

Если для всех i,j , то систему (5.4)можно преобразовать в (5.5) положив , где - символ Кронекера. Обратно, система (5.5) может быть преобразована в (5.4). Для этого нужно взять достаточно большое положительное число и положить . Отсюда

, причем .

(5.7)

Следовательно, если мы найдем условия существования неотрицательного решения системы (5.5), то тем самым докажем продуктивность модели Леонтьева, получаемой из (5.4) при .

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 5.1. Матрица D системы (5.5), элементы которой удовлетворяют условиям (5.6), неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда уравнение (5.5) имеет неотрицательное решение (т.е. продуктивно).

(Квадратная матрица D называется неотрицательно обратимой, если она невырожденна и ее обратная матрица неотрицательна).

Теорема 5.2. Уравнение (5.5) продуктивно тогда и только тогда, когда матрица удовлетворяет условию Хокинса-Саймона, т.е. все главные ее миноры положительны.

Из приведенных утверждений следует, что необходимым и достаточным условием продуктивности модели Леонтьева (5.2)является существование неотрицательно обратимой матрицы , т.е. чтобы матрица была невырожденна () и чтобы обратная матрица была неотрицательна.

Важным следствием модели Леонтьева являются результаты, получаемые с применением двойственной к ней модели

(5.8)

где - транспонированная матрица А. Уравнению (5.8)можно придать смысловую стоимостную окраску. Действительно, p - можно интерпретировать как вектор цен продуктов отраслей, v - как вектор добавленной стоимости (т.е. прибавка к стоимости товара после ее производства) на единицу выпуска, - как вектор суммы издержек на единицу выпуска. Тогда разность есть вектор чистого дохода от единицы выпуска. Этот чистый доход и приравнивается добавленной стоимости .

Существование решения двойственного уравнения (5.8) относительно вектора цен связано опять с неотрицательностью всех его элементов.

Если уравнение (5.8) имеет неотрицательное решение , то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной. Это свойство является двойственным к понятию продуктивности модели Леонтьева в том смысле, что выполнение одного из свойств влечет справедливость другого. Данное положение является следствием наличия тесной математической связи между взаимно двойственными уравнениями (5.2) и (5.8). Действительно, рассмотрим «двойственные» к (5.4) и (5.5) уравнения

	(5.9)
	(5.10)

такие что (5.8) является частным случаем (при ) уравнения (5.9), а (5.9)и (5.10), как и (5.4) и (5.5), взаимно преобразуемы друг в друга. Тогда для матрицы справедливы утверждения, аналогичные теоремам 5.1 и 5.2, а также следующая теорема.

Теорема 5.3. Для того чтобы модель Леонтьева (5.2) была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы двойственная к ней модель (5.8) была прибыльной.

5.3. Планирование производства в динамике (модель Неймана «расширяющейся» экономики)

Следующим представителем класса линейных моделей экономики является модель, построенная в середине 1930-х годов австрийским математиком Джоном фон Нейманом. По сравнению с моделью Леонтьева, которую можно использовать для планирования производства на одном плановом периоде в целом (год, пятилетка и т.д.), модель Неймана отслеживает производственный процесс внутри планового периода, т.е. затраты и выпуск, осуществляемые в каждый период времени (от квартала в квартал, от года в год и т.д.). Поэтому она обобщает модель Леонтьева в двух аспектах: в динамическом плане и в плане многопродуктовых отраслей. В модели Неймана предполагается, что экономика функционирует эффективным образом сколь угодно долго. Логическим следствием такой предпосылки является рост производственных возможностей во времени с нарастающими темпами. Поэтому модель Неймана описывает «расширяющуюся» экономику.

Классическая модель Неймана строится при следующих предпосылках:

1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;

2. производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;

3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;

4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;

5. цены товаров изменяются во времени.

Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале с точками рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивностипроизводственных процессов.

Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через . Заметим, что является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и .

Предположим, что функционирование j-го процесса с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве и дает выпуск товаров в количестве . Введем обозначения . Пара характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как . Поэтому последовательность пар

представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов с коэффициентами :

(5.11)

Говорят, что в производственном процессе базисные процессы участвуют с интенсивностями . Как видно из (5.11) , неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной.

Продолжим описание модели Неймана. Согласно предпосылок 2), 3) затраты в момент t не могут превышать выпуска , соответствующего предыдущему моменту (рис. 5.2).

Время … … Затраты     Выпуск

Рис. 5.2. Последовательность затрат и выпусков.

Поэтому должны выполняться условия:

(5.12)

где - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через , вектор цен товаров. Неравенство (5.12) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) для равновесия должно быть

По предложению 5) прибыль базисного процесса на отрезке равна величине , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как , а выручку - как (рис. 5.3).

Время … … Издержки     Выручка

Рис. 5.3. Последовательность издержек и выручки.

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если , неприбыльны - если

(5.13)

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики «характерен случай падения цен », т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент . С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.

Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. При равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс. Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство (5.13) является отражением этого факта. Поэтому, если в (5.13) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:

то должно быть . Иначе говоря, отсутствие «отрицательной прибыли» обеспечивается нулевой интенсивностью. Отсюда получаем

Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (5.14) :

	(5.14)

где и - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированный рост производства, если существует такое постоянное число , что для всех m производственных процессов

(5.15)

Постоянное число называется темпом сбалансированного роста производства.

Содержательно это означает, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами

.

Раскрывая рекуррентно правую часть (5.15), получаем

,

где - интенсивность процесса j , установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правой части этого уравнения является показателем степени, а в левой - индексом.

В случае сбалансированного роста производства, с учетом постоянства темпа роста, последовательность называется стационарной траекторией производства.

В математической экономике магистралью называется траектория экономического роста, на которой пропорции производственных показателей (такие как темп роста производства, темп снижения цен) неизменны, а сами показатели (такие как интенсивность производства, валовой выпуск) растут с постоянным максимально возможным темпом. Таким образом, магистраль - это траектория или луч максимального сбалансированного роста.

Выводы:

1. Модель Леонтьева «Затраты-выпуск» строится на основе схемы межотраслевого баланса в предположении о том, что каждая отрасль выпускает один и только свой продукт с использованием продуктов остальных отраслей и посредством линейной технологии. Она помогает анализировать перетоки товаров между отраслями и отвечает на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос населения на товары? С помощью двойственных оптимизационных задач доказывается существование равновесия, которое является частным случаем конкурентного равновесия Вальраса.

2. Модель Неймана является обобщением модели Леонтьева. Это линейная динамическая модель расширяющейся экономики, когда каждая отрасль выпускает не один, а несколько товаров. Процесс совместного выпуска формализуется как линейная комбинация исходных производственных процессов, функционирующих с единичными интенсивностями (базисных процессов). В случае сбалансированного (с одним и тем же темпом) роста производства всех товаров и сбалансированного снижения цен всех товаров модель Неймана описывает траекторию равновесного роста. Наиболее эффективное развитие экономики соответствует максимальному темпу сбалансированного роста производства. В этом случае равновесная траектория называется лучом Неймана или магистралью.

3. Магистральная траектория - это луч Неймана. Желательно, чтобы оптимальные (в том или ином смысле) траектории в моделях экономики обладали "магистральными" характеристиками. Поэтому основным вопросом магистральной теории является анализ близости траекторий оптимизационных моделей к соответствующим магистралям. Оптимальные траектории в динамических моделях Леонтьева и Неймана обладают такими свойствами при выполнении некоторых дополнительных условий.