Линейное программирование

Линейным программированием называется раздел математики, в котором изучаются методы нахождения минимума или максимума линейной функции конечного числа переменных, при условии, что переменные удовлетворяют конечному числу ограничений, имеющих вид линейных уравнений или линейных неравенств.

Таким образом, общая задача линейного программирования (ЗЛП) может быть сформулирована следующим образом.

Найти такие значения действительных переменных , для которых целевая функция

принимает минимальное значение на множестве точек, координаты которых удовлетворяют системе ограничений

Как известно, упорядоченная совокупность значений n переменных , , … представляется точкой n-мерного пространства . В дальнейшем эту точку будем обозначать Х=(, , …).

В матричном виде задачу линейного программирования можно сформулировать так:

,

где

, A – матрица размера ,

,

Точка Х=(, , …), удовлетворяющая всем условиям, называется допустимой точкой. Множество всех допустимых точек называется допустимой областью.

Оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования называется решение Х=(, , …), принадлежащее допустимой области и при котором линейная функция Q принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение.

Теорема. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми своими двумя точками содержит их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Точка Х называется выпуклой линейной комбинацией точек если выполняются условия

Множество всех допустимых решений задачи линейного программирования представляет собой выпуклую многогранную область, которую в дальнейшем будем называть многогранником решений.

Теорема. Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение в одной из вершин многогранника решений. Если целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение более чем в одной точке, то она принимает это значение в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Среди множества решений системы m линейных уравнений, описывающих многогранник решений, выделяют так называемые базисные решения.

Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором все n-m неосновных переменных равны нулю. В задачах линейного программирования такие решения называют допустимыми базисными решениями (опорными планами).

Теорема. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует вершина многогранника решений, и наоборот, каждой вершине многогранника решений соответствует допустимое базисное решение.

Из приведенных теорем вытекает важное следствие:

Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает, по крайней мере, с одним из ее допустимых базисных решений.

Следовательно, оптимум линейной функции цели задачи линейного программирования необходимо искать среди конечного числа ее допустимых базисных решений.