Использование решающего правила Байеса

Теория доверительных оценок дает метод для исчисления страховых доверительных взносов по краткосрочным договорам страхования при использовании

1. ранее полученных данных о риске (прямыми наблюдениями за ним);

2. косвенных данных о риске, т.е. данных, полученных из других источников, которые сочтены подходящими.

Двумя существенными чертами доверительного взноса является то, что он представляет собой линейную функцию от полученных ранее прямых данных о риске и то, что он может регулярно пересматриваться по мере поступления новых данных.

Доверительный взнос (премия правдоподобия) для индивидуального риска имеет вид

P_CR = Z P_R + (1 - Z) P_C , 0 < Z £ 1,

где P_R - оцененная премия, основанная на опыте самого индивидуального риска, P_C - оцененная премия, основанная на опыте других подобных рисков. P_CR - взвешенное среднее значение этих двух оценок. Z - коэффициент доверия (правдоподобия, достоверности) - это мера того, насколько надежными считает страховая компания прямые данные о новом риске. Часто доверительный взнос (4.1) выражают формулой:

доверительный взнос = .

Основной сложностью подхода к теории достоверности является отсутствие удовлетворительного метода определения коэффициента Z, когда данные по оцениваемой страховке нельзя считать полностью достоверными. Байесовский подход преодолевает эту сложность и имеет ряд других преимуществ.

Апостериорная байесовская оценка частоты требований выплат или их размера (относительно квадратичных убытков) удовлетворяет условиям правдоподобия оценки. Апостериорная байесовская оценка постоянного, но неизвестного параметра q, связанного с каким-либо риском, имеет вид

,

где - есть данные, полученные от риска со средним значением .

Байесовский подход срабатывает лишь в небольшом числе случаев и требует наложения сильных предположений на распределение (знание априорного распределения).

Если априорные вероятности появления каждого класса равны, то вероятность того, что вектор x принадлежит классу y_i равна:

Очевидно, что наибольшая из величин P(x/y_i) и будет обеспечивать наименьшую вероятность неправильной классификации или наименьший средний риск. Решающее правило можно сформулировать следующим образом: вектор измерений х принадлежит классу y_i, если

P(x/y_i)>P(x/y_j)

В простейшем случае для одной переменной и при двух классах процесс разделения можно представить графически на рис. 3.1. Если выборки признака Х, относящиеся к обоим классам, подчинены нормальным законам распределения с дисперсией σ и средними m₁ и m₂, то пороговая величина х₀ позволяет оптимальным образом разделить признаковое пространство на две области:

где l₀ критическое правдоподобия, который зависит от платежных — значение коэффициента коэффициентов и априорных вероятностей появления объектов первого и второго класса. Если r₁₁=r₂₂=0, r₁₂=r₂₁ и априорные вероятности равны, то l₀=0 и линия х₀ проходит посередине между средними обоих классов.