Аналитические методы оптимизации

Классификация методов оптимизации

Классификация задач оптимизации

Обычно при проектировании технических систем и объектов решаются задачи:

1) синтеза оптимальных структур;

2) оптимизации параметров, в том числе и параметрического синтеза (например, когда неизвестной является форма элементов конструкции, которую можно описать значениями параметров на отдельных участках);

3) синтеза оптимальных политик управления системами или объектами;

4) параметрической идентификации параметров моделей, особенно заданной структуры;

5) автоматизированной "доводки" конструкций до требуемых показателей.

Для характеристики задач параметрического синтеза и параметрической оптимизации объектов или систем вводится формальное определение их структуры. В общем случае это вектор X, составляющими которого являются:

1) элементы структуры (деталь объекта, элемент детали или отдельное устройство);

2) расположение элементов структуры;

3) соединение элементов структуры;

4) параметры элементов структуры (размеры, форма, материалы).

Предположим существование универсальной математической модели системы, на входе которой заданы все составляющие вектора структуры, а выходами модели являются показатели качества q_i - количественные характеристики свойств конструкции. Эти свойства составляют качество Q конструкции в целом, характеризующее преобразование входа Y в выход Z для удовлетворения потребности общества в этом преобразовании (рис. 1.1.).

 

 

Рис. 1.1. Схема процесса оптимизации вектора структуры X от начального значения X^o до конечного значения X^*

 

Пусть каким-то образом совокупность всех отдельных (частных) показателей Q=(q₁,...,q_m) численно оценивается в виде скалярного обобщенного показателя Q, причем наилучшему сочетанию значений показателей q₁^*,...,q_m^* соответствует максимальное или минимальное значение:

Q^*(q₁^*,...q_m^*) = max(min)Q(q₁,...q_m).

Таким образом, задача проектирования оптимальной технической системы может быть сведена к нахождению такого допустимого X^*, при котором Q^* максимальна (минимальна).

Q^*(X^*)=max(min)Q(X)

при XÎ X_доп,

где X_доп - множество допустимых значений X.

Пример. Необходимо спроектировать консервную банку объемом в один литр ( 10⁶ мм³ ) при минимальном расходе жести.

Минимальный расход жести обеспечивается минимизацией площади поверхности банки. Если поверхность - цилиндр, причем x₁ - диаметр основания, а x₂ - высота, то

 

Q^*(x₁^*,x₂^*)=min (p x₁²/2+ px₁x₂). (Два днища и боковая стенка)

 

При формальной минимизации функции получается решение x₁^*=0, x₂^*=0 - самое выгодное ничего не делать. Чтобы избежать неприемлемого явно результата, вводятся дополнительные условия (условия физической реализуемости конструкции) и формула принимает вид:

 

Q^*(x₁^*,x₂^*)=min( p x₁² /2+ px₁x₂.)

при

x₁>0, x₂>0, px₁²x₂ / 4 = 10⁶.

Последнее условие - соответствие объема заданной величине - функциональное ограничение. Эта задача может быть решена аналитически, алгоритмами одномерной оптимизации или алгоритмами нелинейного программирования. В последнем случае функциональное ограничение можно искусственно ввести в выражение минимизируемой функции таким образом, чтобы невыполнение этого условия ухудшало результат.

 

Q^*(x₁^*,x₂^*)=min {p x₁² /2+ px₁x₂ + a(px₁²x₂ / 4 - 10⁶)²}

 

Здесь a - коэффициент, определяющий значимость условия при получении результата. Подбор этого коэффициента представляет собой отдельную проблему: слишком малое его значение делает условие соответствия объема заданной величине "незаметным" для ЭВМ, слишком же большое приводит к получению результата с заданным объемом при совершенно случайных значениях x₁ и x₂. При "среднем" значении коэффициента возникает "узкий овраг" гиперповерхности целевой функции. Поэтому, целесообразно использовать эвристический прием нормировки функции ограничений.

Задача синтеза оптимальной конструкции решается последовательно для разных форм объекта (для банки - шар, параллелепипед, тетраэдр, тор, цилиндр и т.д.). Далее необходимо решить задачу выбора оптимальной конструкции с учетом удобства пользования, простоты изготовления, себестоимости производства, перспектив изменения цен на материалы (например, олово).

В общем случае произвольную форму какого-то объекта можно описать совокупностью параметров (способы описаны в эвристических приемах) и сразу решать задачу параметрического синтеза конструкции с заранее неизвестной формой. Так можно подтвердить, что форма двутавра является оптимальной для балки, лежащей на двух опорах, а эта форма в свое время была изобретением.

Машинная оптимизация параметров объектов проектирования может до 30 % улучшить их качество по сравнению с безмашинным проектированием.

Задача параметрической идентификации параметров моделей обычно решается при: проведении научных исследований; обобщении результатов исследований с целью синтеза новых методик проектирования; создания компактных и быстрых моделей по результатам эксперимента, например, для оптимизации управления сложными объектами и системами. Если задачу получения модели простой структуры, например, в форме полинома, можно получить традиционным методом наименьших квадратов, то у модели c заранее заданной структурой формул, отличающейся от полинома, и даже неаналитической структуры целесообразно осуществлять подбор параметров алгоритмами нелинейного программирования, которые используются для решения задач параметрической оптимизации конструкций. Последние модели являются более точными не только в области данных, в которой проводились эксперименты, но и вне этой области.

Задача синтеза оптимальных политик управления системами или объектами является традиционной задачей технической кибернетики и традиционно решается алгоритмами динамического программирования, методами линейного программирования, методами оптимального решения сетевых задач, методами вариационного исчисления, методами нелинейного программирования.

 

 

Ниже приведенная классификация по исторически принятым делениям методов. Ряд одних и тех же задач может быть решен разными методами. Данная классификация представляет собой иерархическую схему. Иерархия отражена в нумерации разделов, подразделов, пунктов, подпунктов и нумерованных абзацах.

1. Метод "проб и ошибок"

Данный метод применяется, когда наблюдается один или несколько следующих факторов:

а) затруднено построение формализованной математической модели;

б) затруднена формализация оценки;

в) математические методы оптимизации не эффективны.

1.1. Оптимизация по результатам анализа работы натурных образцов, выполненных в натуральную величину или в масштабе.

1.2. Оптимизация на аналоговых вычислительных машинах

1.3. Оптимизация в диалоге человек-ЭВМ с выводом и вводом цифровой или графической информации.

1.3.1. Интерактивная оптимизация - человек производит оценку выводимой ЭВМ информации и формирует вводимые данные полностью сам, исходя из знаний и собственного опыта. Для организации такой оптимизации целесообразно использовать электронные таблицы и, в частности, богатую математическими методами "Гипотезу-2". Задачу оптимизации форм объектов можно решать с использованием устройства "мышь". Использование ЭВМ повышает качество проектирования за счет увеличения числа проектных итераций.

1.3.2. Автоинтерактивная оптимизация. Машина, исходя из опыта лучших пользователей, эвристических приемов, статистики, простейших методов, предлагает пользователю вероятный ответ или ответы. Окончательно данные формирует пользователь.

2.1. Поиск минимума функции по известным выражениям функции и ограничений.

2.2. Вариационное исчисление - раздел математики, в котором изучаются методы отыскания экстремума функции от какой-либо функции. Например,

 

Q(y)=min òf(x,y,y')dx.

2.3. Графические методы решения простых задач оптимизации.