Автокорреляция в остатках, критерий Дарбина-Уотсона
Рассмотрим уравнение регрессии вида
yt = a + 
,
где k ─ число независимых переменных модели.
Для каждого момента времени t = 1,2 …, n значение εt определяется, как:
или
.
Существуют два наиболее распространенных метода определенияавтокорреляции остатков. Первый метод ─ построение графика зависимости остатков от времени визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод ─ использование критерия Дарбина ─ Уотсона и расчет величины:
.
Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется, как:
;
где 
; 
После соответствующих преобразований получим:
Итак, соотношение между критерием Дарбина ─ Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков имеет следующий вид:
d ≈ 2 · (1 - 
).
Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и 
= 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то 
= -1, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d = 2. Следовательно, 0 ≤ d ≤ 4.
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина ─ Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1, Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции остатков. Далее рассчитываются критические значения критерия Дарбина ─ Уотсона dL и dv для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели К и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять отрезков, принятые или
| Есть положительная автокорреляция остатков.(Н0) отклоняется с вероятностью р = (1 - α) принимается H1 | Зона неопределенности | Нет оснований отклонять (Н0) (автокорреляция остатков отсутствует) | Зона неопределенности | Есть отрицательная автокорреляция остатков. (Н0) отклоняется с вероятностью р = (1 - α) принимается H1* |
Отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1 - α) осуществляется в зависимости от значений коэффициента автокорреляции.
Если значение Дарбина ─ Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н0.