Нормальный закон распределения вероятностей. Нормальная кривая. Функция Лапласа.
Определение 6.1. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:
(6.1)
Замечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию (6.1).
1) Область определения этой функции: (-∞, +∞).
2) f(x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси Ох).
3) то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика при
4) при х = а; при x > a, при x < a. Следовательно, - точка максимума.
5) F(x – a) = f(a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.
6) при , то есть точки являются точками перегиба.
Примерный вид кривой Гаусса изображен на рис.1.
х
Рис.1.
Найдем вид функции распределения для нормального закона:
(6.2)
Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F(x) приходится пользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1.
Определение 6.2. Нормальное распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называется нормированным, а его функция распределения
- (6.3)
- функцией Лапласа.
Замечание. Функцию распределения для произвольных параметров можно выразить через функцию Лапласа, если сделать замену: , тогда .
Найдем вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал:
(6.4)
Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ = 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).
Решение.
Правило «трех сигм».
Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ):
Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ, а + 3σ).
Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.