Характеристики случайных величин.

Определение.Математическим ожиданием дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина

M[X] = p₁x₁ + p₂x₂ + ... + p₃x₃ + ... (4)

Замечание. Математическое ожидание представляет взвешенное среднее значение случайной величины с весовыми коэффициентами равными соответствующим вероятностям. Математическое ожидание часто также называют средним значением случайной величины.

В дальнейшем, наряду с обозначением (4), для математического ожидания M[X] будем использовать обозначение .

Заметим, что если X и Y случайные величины, то X ², Y ², CX, X + C, X – C ( где ) и X + Y также являются случайными величинами.

Перечислим основные свойства математического ожидания.

1⁰. M[C] = C, где С есть случайная величина, принимающая только постоянное значение С, то есть величина с законом распределения

X	C
P

2⁰. M[CX] = C M[X] ;

3⁰. M[X + Y] = M[X] + M[Y].

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина

(5)

Величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величины X.

Заметим, что дисперсия характеризует величину отклонения (рассеивания) случайной величины X от ее среднего значения .

Если рассмотреть случайную величину , то очевидно, что

(7)

Утверждение. Если X дискретная случайная величина, то

(8)

Доказательство.

Из (7) и свойств 1⁰ – 3⁰ следует

Утверждение доказано.

Сформулируем основные свойства дисперсии дискретной случайной величины:

1⁰. D[C] = 0;

2⁰. D[CX] = C²D[X];

3⁰. D[αX + β] = α² D[X].