Общие определения вероятности. Аксиомы А.Н. Колмогорова. Алгебра событий.

 

В предыдущем параграфе мы рассмотрели классическое определение вероятности для случая, когда пространство элементарных событий конечно. Однако во многих практических ситуациях пространство является бесконечным (даже несчетным ).

Например, пусть опыт состоит в произведении выстрела по круглой мишени . В этом случае пространство элементарных событий бесконечно. Оно совпадает с множеством точек .

Определение вероятности событий в общем случае (для произвольных пространств ) строится аксиоматическим методом.

Система аксиом теории вероятности была построена в веке выдающимся советским математиком, академиком А. Н. Колмогоровым.

В аксиоматике А. Н. Колмогорова случайное событие отождествляется с соответствующим подмножеством пространства элементарных событий. Например, случайное событие, состоящее в том, что «на игральном кубике выпало нечетное число очков» есть подмножество пространства элементарных событий

Такой подход удобен тем, что благодаря ему операциям над случайными событиями, таким как, сумма и произведение, соответствуют операции объединения (или суммы) и пересечения (произведения) множеств.

Пусть задано некоторое множество . Его будем называть пространством элементарных событий, а элементы будем называть элементарными событиями.

Для любого подмножества будем обозначать через - дополнение множества .

Случайными событиями будем называть систему подмножеств множества , такую что

1. ;

2. Если , то ;

3. Если , то и

Напомним, что и также обозначаются, как и соответственно.

Замечание.Если конечно, то система представляет собой все возможные подмножества .

Определим в общем случае понятия совместных, несовместных, достоверных и недостоверных событий.

Определение.Рассмотрим случайные события Они называются несовместными, если

Определение.Пусть . Тогда события и называют противоположными. Событие называется достоверным, а событие (пустое множество) называется невозможным.

Определение. Система подмножеств со свойствами 1, 2, 3 называется алгеброй событий.