Задание для ККР

Методические указания

 

с вариантами заданий для выполнения КРЗ

по эконометрике

 

для студентов экономических специальностей

РЦПК

 

Тула 2013

 

Методические указания составлены доц. Гучек Н.Е и обсуждены на заседании кафедры «Финансы и менеджмент» факультета Экономики и менеджмента,

 

протокол № __1__ от « _30_ » __августа__ 2012 г.

 

зав. каф. __________________ Е.А Федорова

 

 

Методические указания пересмотрены и утверждены на заседании кафедры «Финансы и менеджмент» факультета Экономики и менеджмента,

 

протокол № ____ от « _ » ______ 20____г.

 

зав. каф. __________________ Е.А Федорова

 


 

В соответствии с учебным планом студенты экономического профиля по дисциплине «Эконометрика» должны выполнить контрольно-курсовую работу, в которой они должны продемонстрировать умение применять знания, полученные на лекционных и практических занятиях в результате изучения данного курса.

Задача ККР – выработать у студентов твердые навыки исследования и решения определенного круга задач, привить способность к аналитическому мышлению и умению работать со специальной справочной литературой и специальными таблицами.

 

Задание для ККР

Экономист, изучая зависимость уровня издержек обращения (тыс. руб.) от объема товарооборота (тыс. руб.), обследовал 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров, и получил следующие данные (таблица 1).

Задание: 1.Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5.Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений регрессии.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в п.п. 3-5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте обоснование этого шага.

7. Для выбранной лучшей модели постройте таблицу дисперсионного анализа и найдите доверительные интервалы для параметров регрессии и коэффициента корреляции.

8. Сделать прогноз значения при (см. задание) и найти доверительные интервалы прогноза для двух уравнений регрессии

.

9. Оценить полученные результаты и сделать вывод.

 

Исходные данные для тридцати вариантов приведены в табл.1.

Таблица 1.

№ вар-та № п/п х*
Х
У 6,1 4,2 2,9 5,8 8,3 5,2 3,4 7,5 4,9 5,4
Х
У 4,2 4,9 7,2 9,1 6,4 3,9 5,1 8,4 3,5 8,7
Х
У 12,5 9,3 9,2 5,1 7,5 11,6 13,1 5,2 7,9 4,4
Х
У 4,2 10,8 9,6 6,3 7,4 6,2 11,4 3,3 12,2 10,5
Х
У 1,9 6,1 12,8 2,8 8,4 9,6 3,4 11,2 6,7 12,6
Х
У 2,8 3,5 2,4 3,6 3,4 3,2 3,6 2,5 4,1 3,3
Х
У 4,2 4,0 4,5 3,6 3,4 5,2 3,9 3,1 3,3 4,9*
Х
У 3,8 4,4 3,2 4,8 3,0 3,5 4,5 3,3 4,1 3,1
Х
У 4,0 3,6 4,0 2,6 4,3 3,4 2,9 2,5 3,0 4,5
Х
У 5,4 4,1 5,6 3,3 4,2 2,9 3,6 2,5 4,9 3,0
Х
У 6,2 4,3 3,0 5,9 8,4 6,3 3,5 7,6 5,0 5,5
Х
У 4,3 5,0 7,3 9,2 6,5 4,0 5,2 8,5 3,6 8,8
Х
У 12,6 9,4 9,3 5,2 7,6 11,7 13,2 5,3 8,0 4,5
Х
У 4,3 10,9 9,7 6,4 7,5 6,3 11,5 3,4 12,3 10,6
Х
У 3,0 7,2 11,9 6,4 7,3 8,5 4,9 11,3 6,8 10,7
Х
У 2,9 3,6 2,5 2,2 3,5 3,3 3,7 2,6 4,2 3,4
Х
У 4,3 4,1 4,6 3,7 3,5 5,3 3,2 3,4 5,0
Х
У 3,9 4,5 3,3 4,9 3,1 3,6 4,6 3,4 4,2 3,2
Х
У 4,1 3,7 4,1 2,7 4,4 3,5 3,0 2,6 3,1 4,6
Х
У 5,5 4,2 5,7 3,3 4,3 3,0 3,7 2,6 5,0 3,1
У
Х
Х
У 6,0 6,3 8,2 10,1 7,4 4,9 6,1 9,4 4,5 9,7
У
Х
Х
У 2,8 4,6 3,4 4,9 3,0 3,5 4,5 3,3 4,5 3,2
Х
У 3,5 3,4 3,2 2,6 3,7 2,2 3,6 2,9 2,5 4,2
Х
У 5,4 4,8 7,6 3,5 5,3 8,2 5,7 2,9 4,3 6,2
Х
У 8,6 3,5 8,8 5,1 3,9 7,4 9,1 7,2 4,9 4,8
Х
У 4,4 7,8 5,2 13,1 11,6 7,6 5,1 9,2 9,4 12,4
Х
У 10,5 12,2 3,3 11,4 6,2 7,4 6,3 9,6 10,8 4,2
Х
У 12,3 6,7 11,2 9,6 3,4 8,4 2,8 13,0 6,1 1,9

Выполнение и оформление работы (рассмотрим для варианта 30)

return false">ссылка скрыта

1. Построим диаграмму рассеивания по исходным данным для своего варианта

Y

10 5 50 100 150 X

Из диаграммы следует, что между показателями и действительно наблюдается зависимость. Но сделать вывод какая именно, трудно, поэтому рассмотрим все три регрессии, а затем выберем лучшую.

А) Рассмотрим линейную регрессию:

Составим исходную расчетную таблицу. Для удобства можно добавить в нее еще два столбца: , чтобы сразу получить общую сумму квадратов.

 

№ п/п Объем товарооборота (тыс. руб.) Издержки (тыс. руб.)
12,6 158,76 12,2 +0,4 0,16 3,17
6,7 44,89 7,2 -0,5 0,25 7,46
11,2 125,44 10,9 +0,3 0,09 2,68
9,6 92,16 9,6
3,4 11,56 3,3 0,1 0,01 2,94
8,4 70,56 8,4
2,8 7,84 2,7 0,1 0,01 3,57
13,0 13,4 -0,4 0,16 3,08
6,1 37,21 5,9 0,2 0,04 3,28
1,9 3,61 2,1 -0,2 0,04 10,53)
Итого 75,7 721,03 75,7 0,76 36,71
Сред.зн. 103,5 7,57 11632,5 72,1 899,9       3,671

 

Функция издержек выразится зависимостью: .

 

Для определения коэффициентов «a» и «b» воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК):

 

(1)

 

Домножим уравнение (1) системы на (-103,5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

 

9202,5b = 1164,05 или b = 0,12649.

 

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле (2), не решая систему (1) непосредственно:

 

(2) ,

Результат аналогичен.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1) системы (1):

10a = 75,7-1035b; 10a = 75,71035*0,12649; 10a =- 55,2;

a = -5,52.

Или можно «a» вычислить по формуле (3) ,

.

Уравнение регрессии будет иметь вид: = -5,52 + 0,126 x

Затем, подставляя различные значения из столбца 2, получим теоретические значения для столбца 7:

,

аналогично для … и .

В столбце 8 находим разность текущего значения и (теоретического), найденного по формуле (4).

 

Для расчета используем следующие формулы:

, , ,

, , .

 

Коэффициент аппроксимации определим по формуле:

.

Средняя ошибка аппроксимации:

.

Допустимый предел значений - не более 10 %, это говорит о том, что уравнение регрессии точно аппроксимирует исходную зависимость.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции . Найдем его по формуле для

.

Коэффициент . Характер связи устанавливается по таблице Чеддока:

 

Диапазон измерения 0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99
Характер тесноты связи слабая умеренная заметная высокая весьма высокая

 

В примере получилась связь прямая, весьма высокая.

 

Для вычисления коэффициента , используются и другие формулы:

.

 

3. Дисперсионный анализ. Общая сумма квадратов отклонений (т.е. общая дисперсия ) равна:

 

,

где - общая сумма квадратов отклонений,

- сумма отклонений, обусловленная регрессией (факторная),

- остаточная сумма квадратов отклонений.

.

 

Остаточная сумма определена в таблице в 9 столбце и равна 0,76. Тогда объясненная (факторная) сумма квадратов будет равна

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей доле дисперсии характеризует индекс детерминации . Он определяется отношением объясненной дисперсии к общей .

Качество всего уравнения регрессии в целом, проверяется F-тестом.

Составим таблицу дисперсионного анализа:

 

Источники вариации Число степеней свободы квадр. отклонений. Дисперсия на 1 степ. свободы. F отн
Факт табл. (0,05)
общая 147,98 147,22 1549,68 5,32
объясненная 147,22
остаточная 0,76 0,095

 

Fтабл определяем по [1] в зависимости от уровня значимости (α = 0,05) и числа степеней свободы (df=8). Fтабл=5,32.

F-тест состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи rху.

Если Fфакт >Fтабл (1549>5,32), то гипотеза Но о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их значимость и надежность.

 

Б) Степенная регрессия

Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения :

Пусть , тогда

Рассчитываем и b по формулам:

Все необходимые расчеты представлены в таблице 2.

 

№ п/п x y X Y XY X2 Y2 Ai
12,6 4,9416 2,5337 12,2053 24,4198 6,4196 11,6 1,0 1,0 7,9
6,7 4,6052 1,9021 8,7596 21,2076 3,6180 6,7
11,2 4,8675 2,4159 11,7594 23,6929 5,8366 10,7 0,5 0,25 3.73
9,6 4,7875 2,2617 10,8282 22,9201 5,1156 9,3 0,3 0,09 0,93
3,4 4,2485 1,2237 5,1702 18,0497 1,4976 3,7 0,3 0,09 2,64
8,4 4,7005 2,1282 10,0037 22,0945 4,5294 7,8 0,6 0,36 4,28
2,8 4,1744 1,0296 4,2980 17,4255 1,0601 3,4 - 0,6 0,36 12,8
13,0 5,0106 2,5649 12,8519 25,1065 6,5790 12,9 0,1 0,01 0,08
6,1 4,4998 1,8083 8,1369 20,2483 3,2699 5,7 0,4 0,16 2,62
1,9 4,0943 0,6418 2,6279 16,7637 0,4120 2,9 - 1,0 1,0 52,6
Итого 75,7 45,9299 18,5099 86,6419 211,9286 37,9258 74,7 1,6 3,32 87,59
Средн.зн. 103,5 7,57 4,59299 1,85099 8,66419 21,19286 3,79258       8,759

 

 

Параметры будут равны:

Подставим их в уравнение и получим линейное уравнение:

Потенцируя которое, получим:

По этому уравнению заполняется вторая половина таблицы.

В) Уравнение гиперболы

Линеаризуется при замене , тогда

Все необходимые расчеты представим в таблице 6.

№ п/п x y Ai
12,6 0,0071429 0,05 0,000051 17,54 -5,06 25,0036  
6,7 0,01 0,067 0,0001 8,65      
11,2 0,007692 0,086154 0,000059        
9,6 0,008333 0,08 0,000069        
3,4 0,014286 0,048571 0,000204        
8,4 0,009091 0,076364 0,000083        
2,8 0,015385 0,043077 0,000237        
13,0 0,006667 0,086667 0,000044        
6,1 0,011111 0,067778 0,000125        
1,9 0,016667 0,031667 0,000278        
Сумма 75,7 0,106375 0,434124 0,00125       76.9
Ср. знач. 103,5 7,57 0,0106375 0,0434124 0,000125       7,69

 

Найдем параметры и , используя МНК.

Для этого решим систему (1), учитывая, что .

 

Таким образом, получили систему уравнений:

: :

 

Можно воспользоваться формулами.

 

 

Итак, получим уравнение:

.

Оценим тесноту связи результативным фактором (расходами на моторное масло) и факторным признаком (личным располагаемым доходом) с помощью коэффициента корреляции (для линейной модели), индекса корреляции (для нелинейных моделей) и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:

,

 

Найдем средний коэффициент эластичности по формулам, представленным в таблице 7.

 

Таблица 7

Вид регрессии Формула для расчета
Линейная
Степенная
Гиперболическая

 

Найдем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

, где .

 

Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера:

.

 

Для линейном модели уже строили таблицу дисперсионного анализа

 

Для сравнения полученных уравнений регрессии построим таблицу .

 

Таблица

Вид регрессии , R2, r2 F
Линейная 0,997 0,994 3,67 1,3973 0,76
Степенная 0,988 0,977 8,76 1,2558 339,83 3,32
Гиперболическая 0,9315 0,8677 7,69 1,0796 52,468 6,597

 

Из итоговой таблицы видно, что коэффициент корреляции наибольший для линейной регрессии, коэффициент детерминации max, а коэффициент аппроксимации минимален, поэтому можно сделать вывод: наиболее сильное влияние на уровень издержек в зависимости от товарооборота получается при использовании в качестве аппроксимирующей функции линейную функцию.

Для всех моделей , следовательно, все модели являются адекватными.

Из таблицы видно, что лучшим уравнением регрессии является линейная функция, так как коэффициент детерминации для этой функции является наибольшим из представленных в таблице, сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных является наименьшей и средний коэффициент аппроксимации является наименьшим.

Т.к. наилучшей является линейная модель, то нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывают t-критерий.

Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

, , .

;

,

где , или из табл. дисперсионного анализа (0,095).

, .

 

Для примера определим стандартную ошибку для параметра «b»:

Критерий Стьюдента для параметра «b» равен 39,5.

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

, 39,52=1560.

Табличное значение tтабл критерия Стьюдента определяем по [1] для и уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы df = 8, , т.к. > , то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:

 

Доверительный интервал, , .

Для расчета доверительного интервала для параметра а, найдем:

, т.к. критерий Стьюдента двусторонний, а параметр а - отрицательный, то он значим. Найдем для него доверительный интервал:

 

Найдем доверительный интервал для параметра r:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательная, а верхняя положительная, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. не может одновременно принимать и положительное и отрицательное значения.

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии:

 

Вычислим ошибку прогноза для уравнения :

.

 

И для уравнения :

(*) ,

,

.

Для * ,

,

,

,

,

.

Для уравнения с :

,

.

Библиографический список рекомендуемой литературы

1. Новиков А.И. Эконометрика:Учеб.пособие. - М.: ИНФРА-М, 2010. - 144 с.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 2001. - XIV, - 402с.

3 Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2007.-576 с.

4. Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордиенко Н.М. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 2008 - 344 с.

5. Магнусян Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2001. - 454 с.

6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 573 с.

7. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 435 с.

8. Домбровский В.В. Эконометрика – М.: Новый учебник, 2004. – 342 с.