Раздел 3. КОНТРОЛНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
3.1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1
По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока (табл. 3 и 4).
Таблица 3
Себестоимость молока, руб./л
Сельскохозяйственное предприятие | Предпоследняя цифра номера зачетной книжки | |||||||||
7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | |
6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | |
5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | |
8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | |
5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | |
6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | |
7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | |
7,0 | 5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | |
5,9 | 8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | |
8,0 | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 |
Прогнозное значение средней продуктивности молока:
Прогнозное значение себестоимости молока:
ŷр = 2,13 + 0,0245·211,53 = 7,31 руб./л.
Методические указания к задаче 2
Пример
По 33 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о средних значениях и вариации урожайности зерновых, количестве внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 10).
Таблица 10
Показатель | Признак | Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение (σ) | Линейные коэффициенты парной корреляции |
Урожайность зерновых, ц/га | у | 19,5 | 8,4 | =0,405 =0,33, =0,115 |
Внесено органических удобрений, ц/га | х1 | 25,0 | 3,2 | |
Насыщенность севооборота зерновыми, % | х2 | 13,0 |
Требуется:
1.Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности зерновых от количества внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми.
2.Определить линейный коэффициент множественной корреляции.
3.Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.
4.Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости α = 0,05.
показывает, что 93,5 % изменений в уровне себестоимости объясняется различной продуктивностью молока.
5.Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:
Вычисленное tфакт сравним с табличным (критическим) значением tтабл при принятом уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы
ν = n – 2 = 10 – 2 = 8 (приложение 1). Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,31.
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенности связи между себестоимостью и продуктивностью молока.
6.Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение Fфакт с табличным Fтабл.
Фактическое значение Fфакт определяется по формуле:
,
В нашем случае:
Табличное значение Fфакт по таблице значений F-критерия Фишера при α = 0,05, k1 = m = 1 и k2 = n – m – 1 = 10 – 1 – 1 = 8 (приложение 2) равно 5,32 (m – число параметров при переменной х).
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.
7.Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Рассчитаем прогнозное значение себестоимости молока при среднем росте продуктивности молока на 10 %.
Таблица 4
Средняя продуктивность молока, кг
Сельскохозяйственное предприятие | Последняя цифра номера зачетной книжки | |||||||||
Требуется:
1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости себестоимости молока от средней продуктивности.
2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.
3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.
4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.
6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при α = 0,05.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня.
Задача 2
По сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о количестве предприятий, средних значениях и вариации урожайности зерновых, количестве внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 5, 6 и 7).
Таблица 5
Количество предприятий
Последняя цифра номера зачетной книжки | ||||||||||
Количество предприятий |
Таблица 6
Урожайность зерновых, количество внесенных удобрений и продолжительность вегетационного периода
Предпоследняя цифра номера зачетной книжки | Урожайность зерновых, ц/га | Внесено органических удобрений, ц/га | Насыщенность севооборота зерновыми, % | |||
Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение | Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение | Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение | |
12,5 | 5,0 | 1,5 | 8,0 | |||
13,5 | 5,4 | 1,7 | 8,5 | |||
15,0 | 5,8 | 1,9 | 9,0 | |||
16,0 | 6,2 | 2,1 | 9,5 | |||
16,5 | 6,6 | 2,3 | 10,0 | |||
17,0 | 7,0 | 2,5 | 10,5 | |||
17,5 | 7,4 | 2,7 | 11,0 | |||
18,5 | 7,8 | 2,9 | 11,5 | |||
21,5 | 8,2 | 3,1 | 12,0 | |||
22,0 | 8,6 | 3,3 | 12,5 |
;
.
Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте средней продуктивности молока на 1% себестоимость молока повышается на 0,69 %.
4.Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:
,
где – средняя сумма произведения признаков;
и – средние квадратические отклонения по х и у.
Данные для расчета коэффициента корреляции представлены в табл. 9 и в пункте 3 решения. Отсюда:
;
;
;
.
Коэффициент корреляции свидетельствует, что связь между признаками очень тесная и прямая. Коэффициент детерминации
Уравнение регрессии имеет вид:
ŷх = 2,13 + 0,0245х.
Коэффициент регрессии b = 0,0245 показывает, что при росте средней продуктивности молока на 1 кг себестоимость молока в среднем по данной совокупности хозяйств увеличивается на 2,45 копейки за литр.
2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:
где – ошибка аппроксимации.
Подставляя в уравнение регрессии х, определим теоретические (расчетные) значения ŷх (табл. 9). Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы табл. 9. Отсюда:
.
В среднем расчетные значения себестоимости молока отклоняются от фактических на 3,17%. Качество уравнения регрессии можно оценить как высокое, так как средняя ошибка аппроксимации меньше допустимого предела (8-10%).
3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:
где и – средние значения признаков.
Отсюда:
Таблица 7
Линейные коэффициенты парной корреляции
Последняя цифра номера зачетной книжки | |||
0,33 | 0,48 | 0,04 | |
0,34 | 0,46 | 0,05 | |
0,35 | 0,44 | 0,06 | |
0,36 | 0,42 | 0,07 | |
0,37 | 0,40 | 0,08 | |
0,38 | 0,38 | 0,09 | |
0,39 | 0,36 | 0,10 | |
0,40 | 0,34 | 0,11 | |
0,41 | 0,32 | 0,12 | |
0,42 | 0,30 | 0,13 |
Требуется:
1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности зерновых от количества внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми.
2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.
3. Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости α = 0,05.
3. 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Методические указания к задаче 1
Пример
По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока (табл. 8).
Таблица 8
Себестоимость молока, руб./л | 7,5 | 6,0 | 5,2 | 8,3 | 5,8 | 6,9 | 7,8 | 7,0 | 5,9 | 8,0 |
Средняя продук-тивность молока, кг |
Требуется:
1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости себестоимости молока от средней продуктивности.
2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.
3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.
4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.
6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при α = 0,05.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня.