Решение

 

1. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

,

где – урожайность зерновых с 1 га, ц;

х₁ – внесено органических удобрений на 1 га, ц;

х₂ – насыщенность севооборота, %;

а, b₁ и b₂ – параметры уравнения.

Для расчета параметров а, b₁ и b₂ сначала построим уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

где - стандартизированные переменные;

β₁ и β₂ – стандартизированные коэффициенты регрессии.

Стандартизированные коэффициенты регрессии определим по формулам:

Уравнение множественной регрессии в стандартизированной форме имеет вид:

.

Стандартизированные коэффициенты регрессии позволяют сделать заключение о сравнительной силе влияния каждого фактора на урожайность зерновых. Более значимое влияние оказывает первый фактор, а именно, количество внесенных органических удобрений. В целом же можно сказать, что влияние факторов на урожайность практически одинаково.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂, используя формулы перехода от β_i к b_i:

 

независимо от истинного закона распределения X_j. Наиболее часто используемая множественная линейная модель регрессионного анализа имеет вид:

у = b₀ + b₁∙x_i1 + b₂∙x_i2 +. . .+ b_j∙x_ij +. . .+ b_k∙x_ik.

Отметим, что эта модель линейна относительно неизвестных параметров b₀, b₁, b₂,..., b_j,..., b_kи аргументов. Коэффициент регрессии b_j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную X_j увеличить на единицу измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

Классическая линейная регрессионная модель с одной переменной – это модель вида:

у_i = b₀ + b₁∙x + u,

в которой x – детерминированная (неслучайная) величина, u – случайная составляющая; у – результативный признак.

Статистическую значимость уравнения регрессии определяют с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое (фактическое) значение находится по формуле:

Найденное значение сравнивается с табличным (приложение 2). Если фактическое значение критерия больше табличного, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи r, то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.

Оценить качество модели регрессии можно с помощью средней ошибки аппроксимации:

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.

 

Коэффициент эластичности характеризует силу связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора х на 1%. Средний коэффициент эластичности линейной зависимости можно рассчитать по следующей формуле:

Обобщающий коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1% относительно своего среднего уровня.