Тема 8. Критерии и свойства оптимальных стратегий
Теорема 8.1. Пусть V- цена игры, 
- функция выигрыша, За и - множества смешанных стратегий соответственно игроков А и В.
1. Для того чтобы стратегия 
игрока А была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
для любого 
т.е. выбор игроком А оптимальной стратегии гарантирует ему выигрыш 
, не меньший цены игры V, при любой стратегии 
игрока В.
2. Для того чтобы стратегия 
игрока В была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
для любого 
,
т. е. выбор игроком В одной из своих оптимальных стратегий гарантирует ему проигрыш, не больший цены игры У, при любой стратегии Р игрока А.
Теорема 8.2. Пусть V - цена игры, - функция выигрыша, 
и 
- множества чистых стратегий соответственно игроков А и В.
1. Для того чтобы стратегия игрока А была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы
2. Для того чтобы стратегия игрока В была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы
Пример. Рассмотрим матричную игру
с платежной матрицей
| А= | 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| ||
| 
|
|
и смешанные стратегии 
и 
соответственно игроков А и В. В упражнении 9.2 было отмечено, что из примера 8.3 по теореме фон Неймана следует оптимальность стратегии и . Установим этот факт на основании теоремы 8.2.
Имеем, что цена игры 
.
Получаем следующие значения функции выигрыша:
Таким образом, 
и потому по достаточной части утверждения 1 теоремы 8.2 (см. (10.10)) стратегия является оптимальной стратегией игрока А.
Также имеют место неравенства
, (которые на самом деле являются равенствами) и, следовательно, по достаточной части утверждения 2 теоремы 8.2 стратегия является оптимальной стратегией игрока В.
Пусть 
оптимальная смешанная стратегия игрока А. В общем случае, некоторые из вероятностей 
могут быть равными нулю. Если 
, где i - одно из чисел 
, то в оптимальной смешанной стратегии чистая стратегия не участвует и потому называется пассивной. Чистые стратегии , входящие в оптимальную стратегию Р° с положительной вероятностью 
, называются активными стратегиями игрока А. Таким же образом определяются активные стратегии игрока В. Понятно, что оптимальная чистая стратегия является активной. Следующая теорема об активных стратегиях играет существенную роль в решении игр.
Теорема 8.3(об активных стратегиях). Пусть V- цена игры, и 
- оптимальные стратегии соответственно игроков А и В. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Для любой активной стратегии 
игрока А выполняется равенство
.
2. Для любой активной стратегии 
игрока В выполняется равенство
.