N-арные отношения (отношения степени n)
Таблица 2 Таблица фактов
Таблица 1. Матрица взаимоотношений
Рисунок 1 Граф взаимоотношений
Способ 3. При помощи матрицы взаимоотношений:
Способ 4. При помощи таблицы фактов:
| Кто любит | Кого любят |
| Вовочка | Вовочка |
| Петя | Маша |
| Маша | Петя |
| Маша | Маша |
| Лена | Петя |
С точки зрения реляционных баз данных наиболее предпочтительным является четвертый способ, т.к. он допускает наиболее удобный способ хранения и манипулирования информацией. Действительно, перечисление фактов как текстовая форма хранения информации уместна для литературного произведения, но с трудом поддается алгоритмической обработке. Изображение в виде графа наглядно, и его удобно использовать как конечную форму представления информации для пользователя, но хранить данные в графическом виде неудобно. Матрица взаимоотношений уже больше соответствует требованиям информационной системы. Матрица удобна в обработке и компактно хранится. Но одно небольшое изменение, например, появился еще Вася и влюбился в несчастную Лену, требует перестройки всей матрицы, а именно, добавления и колонок, и столбцов. Таблица фактов свободна от всех этих недостатков - при добавлении новых действующих лиц просто добавляются новые строки.
Что касается предиката данного отношения, то он имеет следующий вид (дизъюнктивная нормальная форма):
R(x,y) = {(x = "Вовочка" AND y = "Вовочка") OR (x = "Петя" AND y = "Маша") OR (x = "Маша" AND y = "Петя") OR (x = "Маша" AND y = "Маша") OR (x = "Лена" AND y = "Петя")}
Замечание. Приведенное отношение не является ни транзитивным, ни симметричным или антисимметричным, ни рефлексивным, поэтому оно не является ни отношением эквивалентности, ни отношением порядка, ни каким-либо другим разумным отношением.
Замечание. Большая часть мировой литературы существует и имеет смысл лишь постольку, поскольку бинарное отношение "любить" не является отношением эквивалентности. В частности, по этой причине человечество не разбивается на классы эквивалентности взаимно любящих особей. Изучением характеристик данного отношения и соответствующего ему предиката занималось (и продолжает заниматься) большое количество экспертов, таких как Толстой Л.Н., Шекспир В. и др.
В математике n-арные отношения рассматриваются относительно редко, в отличие от баз данных, где наиболее важными являются именно отношения, заданные на декартовом произведении более чем двух множеств.
Пример 6. В некотором университете на математическом факультете учатся студенты Иванов, Петров и Сидоров. Лекции им читают преподаватели Пушников, Цыганов и Шарипов, причем известны следующие факты:
- Пушников читает лекции по алгебре и базам данных, соответственно, 40 и 80 часов в семестр.
- Цыганов читает лекции по геометрии, 50 часов в семестр.
- Шарипов читает лекции по алгебре и геометрии, соответственно, 40 и 50 часов в семестр.
- Студент Иванов посещает лекции по алгебре у Шарипова и по базам данных у Пушникова.
- Студент Петров посещает лекции по алгебре у Пушникова и по геометрии у Цыганова.
- Студент Сидоров посещает лекции по геометрии у Цыганова и по базам данных у Пушникова.
Для того чтобы формально описать данную ситуацию (например, в целях разработки информационной системы, учитывающей данные о ходе учебного процесса), введем три множества:
- Множество преподавателей
= {Пушников, Цыганов, Шарипов}. - Множество предметов
= {Алгебра, Геометрия, Базы данных}. - Множество студентов
= {Иванов, Петров, Сидоров}.
Имеющиеся факты можно разделить на две группы. 1 группа (факты 1-3) - факты о преподавателях, 2 группа (факты 4-6) - факты о студентах.
Для того чтобы отразить факты 1-3 (характеризующие преподавателей и читаемые ими лекции), введем отношение 
на декартовом произведении 
, где 
- множество рациональных чисел. А именно, упорядоченная тройка 
тогда и только тогда, когда преподаватель 
читает лекции по предмету 
в количестве 
часов в семестр. Назовем такое отношение "Читает лекции по…". Множество кортежей, образующих отношение удобно представить в виде таблицы:
| A (Преподаватель) | B (Предмет) | Q (Количество часов) |
| Пушников | Алгебра | |
| Пушников | Базы данных | |
| Цыганов | Геометрия | |
| Шарипов | Алгебра | |
| Шарипов | Геометрия |
Таблица 3 Отношение "Читает лекции по…"
Для того чтобы отразить факты 4-6 (характеризующие посещение студентами лекций), введем отношение 
на декартовом произведении 
. Упорядоченная тройка 
тогда и только тогда, когда студент 
посещает лекции по предмету у преподавателя . Назовем это отношение "Посещать лекции". Его также представим в виде таблицы:
| C (студент) | B (предмет) | A (Преподаватель) |
| Иванов | Алгебра | Шарипов |
| Иванов | Базы данных | Пушников |
| Петров | Алгебра | Пушников |
| Петров | Геометрия | Цыганов |
| Сидоров | Геометрия | Цыганов |
| Сидоров | Базы данных | Пушников |
Таблица 4 Отношение "Посещать лекции"
Рассмотрим отношение R2 подробнее. Оно задано на декартовом произведении 
. Это произведение, содержащее 3*3*3=27 кортежей, можно назвать «Студенты-Лекции-Преподаватели». Множество Ω представляет собой совокупность всех возможных вариантов посещения студентами лекций. Отношение же R2 показывает текущеесостояние учебного процесса. Очевидно, что отношение R2 является изменяемым во времени отношением.
Итак, факты о ходе учебного процесса удалось отразить в виде двух отношений третьей степени (3-арных), а сами отношения изобразить в виде таблиц с тремя колонками.
Удобство использования табличной формы для задания отношения определяется в данном случае следующими факторами:
- Все используемые множества конечны.
- При добавлении или удалении студентов, предметов, преподавателей просто добавляются или удаляются соответствующие строки в таблице.
Нас сейчас не интересует вопрос, хороши ли полученные отношения. Заметим пока только, что, как показывают следующие замечания, не любую строку можно добавить в таблицу «Посещать лекции».
Замечание. В таблицу «Посещать лекции» нельзя добавить две одинаковые строки, т.к. таблица изображает отношение R2, а в отношении (как и в любом множестве) не может быть двух одинаковых элементов. Это пример синтаксического ограничения – такое ограничение задано в определении понятия отношение (одинаковых строк не может быть ни в одной таблице, задающей отношение).
Замечание. В таблицу «Посещать лекции» нельзя добавить кортеж (Иванов, Геометрия, Пушников). Действительно, из таблицы «Читает лекции по…», представляющей отношение R1, следует, что Пушников не читает предмет «Геометрия». Оказалось, что таблицы связаны друг с другом, и существенным образом! Это пример семантического ограничения – такое ограничение является следствием нашей трактовки данных, хранящихся в отношении (следствием понимания смысладанных).