Классическая модель в условиях стохастичности объясняющих переменных. Оценки регрессионных коэффициентов и их математическое ожидание. Свойства.

С точки зрения моделирования реальных экономических явлений, предположение о фиксированности значений объясняющих переменных можно считать реалистическим лишь в отдельных ситуациях, связанных с проведением контролируемого эксперимента. Между тем в реальных ситуациях по большей части нет возможности сохранять неизменными значения объясняющих переменных. Более того, и сами наблюдаемые значения объясняющих переменных (как и «ошибки») часто интерпретируются как реализации некоторых случайных величин. В таких ситуациях становится проблематичным использование техники статистических выводов, разработанной для классической нормальной линейной модели.

Рассмотрим матрично-векторную форму записи классической линейной модели с объясняющими переменными:

 

,

 

в которой

вектор значений объясняемой переменной в наблюдениях,

матрица значений объясняющих переменных в наблюдениях, ,

вектор коэффициентов,

вектор случайных ошибок (возмущений) в п наблюдениях.

Если матрица имеет полный ранг , то матрица является невырожденной, для нее существует обратная матрица , и оценка наименьших квадратов для вектора неизвестных коэффициентов имеет вид

 

.

 

Математическое ожидание вектора оценок коэффициентов равно

 

 

Если матрица фиксирована, то , так что: , т.е. несмещенная оценка для .

Если же мы имеем дело со стохастическими (случайными, недетерминированными) объясняющими переменными, то в общем случае , так что , и смещенная оценка для , и, кроме того, эта оценка уже не имеет нормального распределения.

 

Если объясняющие переменные стохастические, то в некоторых случаях все же остается возможным использовать стандартную технику статистических выводов, предназначенную для классической нормальной линейной модели, по крайней мере, в асимптотическом плане (при большом количестве наблюдений).

13. Стандартная техника статистических выводов в условиях стохастичности переменных: ситуации А и А¢.

Если объясняющие переменные стохастические, то в некоторых случаях все же остается возможным использовать стандартную технику статистических выводов, предназначенную для классической нормальной линейной модели, по крайней мере, в асимптотическом плане (при большом количестве наблюдений).

В этом отношении наиболее благоприятной является:

Ситуация A

– случайная величина , не зависит (статистически) от при всех и ,

– являются независимыми случайными величинами, имеющими одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией . (кратко будем обозначать это как ~ i.i.d. . Здесь i.i.d. – independent, identically distributed.)

При выполнении таких условий имеем

 

,

 

так что оценка наименьших квадратов для является несмещенной. Распределение статистик критериев («тестовых статистик») можно найти с помощью двухшаговой процедуры. На первом шаге находим условное распределение при фиксированном значении ; при этом значения объясняющих переменных рассматриваются как детерминированные (как в классической модели). На втором шаге получаем безусловное распределение соответствующей статистики, умножая условное распределение на плотность и интегрируя по всем возможным значениям .

Если применить такую процедуру для получения безусловного распределения оценки наименьших квадратов , то на первом шаге находим:

 

~ .

 

Интегрирование на втором этапе приводит к распределению, являющемуся смесью нормальных распределений по . Это распределение, в отличие от классического случая, не является нормальным.

В то же время, для оценки го коэффициента имеем:

 

~

 

где '-й диагональный элемент матрицы , так что

 

~ .

 

Условным распределением отношения , где , остаточная сумма квадратов, является распределение с степенями свободы,

 

~ .

 

Заметим теперь, что статистика для проверки гипотезы определяется соотношением

 

_.

 

Из предыдущего вытекает, что если гипотеза верна, то условное распределение этой статистики имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, ~ .

Это условное распределение одно и то же для всех X. Поэтому вне зависимости от того, какое именно распределение имеет , безусловным распределением статистики для : при выполнении этой гипотезы будет все то же распределение .

Аналогичное рассмотрение показывает возможность использования стандартных критериев для проверки линейных гипотез о значениях коэффициентов.

 

Те же самые выводы остаются в силе при замене предположений ситуации A следующим предположением.

 

Ситуация A'

– ~ , где единичная матрица (размерности ). Для краткости будем далее обозначать: вектор значений объясняющих переменных в м наблюдении.