Выпуклость функции

Функция у = f(х) называется выпуклой вниз (вверх)[1] на промежутке Х если для любых двух значений х₁, х₂ Î Х из этого промежутка выполняется неравенство .

Графический смысл выпуклости функции проиллюстрирован рисунком 3.7. В самом деле, в левых частях формул, определяющих выпуклость, находится значение функции в середине отрезка [х₁, х₂]. В правых частях находится ордината середины отрезка, соединяющего точки (х₁, f(х₁)) и (х₂, f(х₂)) на графике функции. Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком, а если она выпукла вверх, то под графиком функции.

Можно доказать, что функция выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда ее первая производная на соответствующем промежутке монотонно возрастает (убывает). Геометрически это означает, что если f `(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к ее графику (см. рисунок 3.8).

Достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Доказательство этой теоремы основано на том, что если вторая производная положительна (отрицательна), то первая возрастает (убывает), что говорит о выпуклости функции вниз (вверх).

Заметим, что необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла на промежутке, то ее вторая производная неположительна (неотрицательна), т.е. может и равняться нулю.

 

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, на которых функция выпукла вниз и вверх.

Из сформулированных выше теорем следует, что точки перегиба — это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают теоремы об условиях перегиба.

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю.

Достаточное условие перегиба[2]. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то это точка перегиба ее графика.

Геометрическая интерпретация точки перегиба приведена на
рисунке 3.9. В окрестности точки х₁ функция выпукла вверх, и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки х₂ функция выпукла вниз, и график лежит выше касательной. В точке же перегиба х₀ график лежит по разные стороны касательной.

Отметим, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

 

Исследование функции на выпуклость и точки перегиба обычно включает следующие этапы:

1. Найти вторую производную функции f ``(х).

2. Найти точки, в которых вторая производная f ``(х) = 0 или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.