Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.

Исключительная роль V постулата "Нагал" Евклида состоит в том, что в течение почти двух тысяч лет предпринимались безуспешные попытки доказательства этого постулата в качестве Теоремы. Около 1826 года Н. И. Лобачевским была впервые осознана независимость этого утверждения от остальных аксиом геометрии.

Этот факт является историческим моментом в развитии современной Теории оснований математики.

Следующий исторический шаг, совершенный Лобачевским же, состоял в построении непротиворечивой Теории, основанной на принятии утверждения, противоположного постулату параллельности Евклида.

Следующий шаг – принятие математиками этой "мыслимой" геометрии и математическое исследование отношений между Теорией и ее моделью. Этот шаг бы проделан благодаря трудам А. Пуанкаре, Феликса Христиана Клейна (1842-1925), К. Ф. Гаусса и др. математиков ХIХ века.

Эти геометрические открытия второй половины ХIХ века послужили мощным импульсом исследования аксиоматических начал всей математики.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1843-1918) предпринял попытку аксиоматического построения Теории множеств. Исследование противоречий языкового характера , с которыми столкнулись математики в его "наивной" Теории множеств привели в современному пониманию требований, предъявляемых к системам аксиом. Наконец, в 1899 г. появляется практически современная геометрическая аксиоматика Д. Гильберта, которая легла в основу современного математического формализма, названного в математике Гильбертовым формализмом. В современных приложениях геометрии используется аксиоматики А. Вейля арифметической модели евклидова пространства, см. §4.

Анализ текстовых парадоксов.