Ставка i называется эффективной годовой ставкой.

Она дает тот же финансовый результат, что и номинальная ставка j при m-разовом начислении в году.

Это наиболее часто используемая ставка среди всех эквивалентных ставок.

Задача 8.

Рассчитать накопленную сумму процентов за 1 год, если начальный капитал К = 1000 руб., годовая ставка j = 10%, при ежегодном, полугодовом, квартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном начислении процентов. Найти базисные и цепные наращения. Для каждого случая рассчитать эффективные ставки и сделать по ним начисления на ту же сумму начального капитала.

 

Решение:

Начальный капитал К	Частота начисления процентов в году m	Наращенная сумма	Базисное наращение (сравнение с ежегодным начислением процентов)	Цепное наращение (сравнение по цепочке с предыдущим начислением)
	ежегодное (m = 1)		-	-
	полугодовое (m = 2)	1102,50	1102,5-1100 = 2,50	2,50
	квартальное (m = 4)	1103,81	1103,81-1100 = 3,81	1103,81-1102,50 = 1,31
	ежемесячное (m =12)	1104,71	4,71	1104,71-1103,81 = 0,90
	ежедневное (m =365)	1105,16	5,16	0,45
	непрерывное (m = ¥)	1105,17= 1000×e	5,17	0,01

 

 

Рассчитаем эффективные ставки:

и сделаем начисление на 1000 руб. по эффективной ставке, , n = 1год.

 

Число начислений m	m=1	m=2	m=4	m=12	m=365	m=¥
Эффективная ставка i	0,1	0,1025	0,10381	0,10471	0,10516	0,10517
Наращенная сумма		1102,50	1103,81	1047,1	1051,6	1051,7

 

Сравните наращенные суммы в таблицах. Они одинаковы, что по эффективной ставке, что по номинальной ставке при определенном числе начислений процентов в году.

Этот факт следует из понятия эквивалентных ставок: они обязаны давать одинаковый финансовый результат.

 

Основные уравнения эквивалентности

1. Простой процентной ставки i и простой учетной ставки d:

;

2. Простых и сложных ставок:

а) Простой процентной ставки i и сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов в году:

б) Простой процентной ставки i и сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов в году:

3. Сложной процентной ставки j и сложной учетной ставки f:

4. Сложных и непрерывных ставок:

а) Сложной ставки i и непрерывной ставки d:

б) Сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки d:

в) Сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки d:

Из каждого соотношения при любой известной ставке можно найти эквивалентную ей ставку.

 

Задача 9.

Найти номинальную процентную ставку, если полугодовая эффективная ставка 6 %.

 

Решение:

 

Из уравнения эквивалентности номинальной j и эффективной i ставок найдем j:

,

 

Þ Вывод: номинальная годовая ставка всегда чуть меньше эффективной.

Þ

 

Задача 10.

Найти эквивалентную учетную ставку d для сложной годовой ставки j=0,12 при квартальном начислении процентов(m=4). Начислить проценты по обеим ставкам на 1000 руб. Сравнить результаты (Срок n=1 год).

 

 

Задача 12.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста

 

Решение:

Уравнение эквивалентности:

 

.

Наращенная сумма по сложной годовой процентной ставке j=12% при квартальном начислении процентов:

руб.,

Наращенная сумма по эквивалентной сложной годовой учетной ставке f =11,65% при квартальном начислении процентов:

 

руб.

 

Естественно, что , т.к. эквивалентные ставки дают одинаковое наращение.

 

Задача 12.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?

Решение:

Воспользуемся уравнением эквивалентности сложной и непрерывной ставок:

Найдем из этого уравнения непрерывную ставку.

Непрерывная ставка d=13,976% и сложная ставка I=15% дают одинаковый финансовый результат. Например, при начальном капитале K=2000 руб., сроке n=4 года, имеем