Тестовая задача на инструментарий гипотез

Рассматривается месячный доход жителей России.

a)Пусть месячный доход жителей России распределен по нормальному закону со средним 1000 руб. и дисперсией 10000 руб². Найти вероятность того, что душевой доход лежит между 800 и 1200 руб.

b)При выборочном опросе 1000 человек оказалось, что выборочное среднее составило 900 руб., а оценка выборочной дисперсии 9000 руб². Постройте 95 % доверительный интервал для генерального среднего.

c)Пусть месячный доход жителей России распределен по нормальному закону со средним 1000 руб., а значение дисперсии генеральной совокупности неизвестно. При выборочном опросе 1000 человек оказалось, что оценка выборочной дисперсии 9000 руб². Данные о выборочном среднем случайно оказались утеряны. На уровне 10 % значимости проверьте гипотезу о том, что генеральное среднее[1] равно 950 руб.

3. Какие основные понятия из курса «Эконометрика» могут быть включены в следующее изречение: «Ex ungue leonem. A l’ongle on connait le lion (en francais). По когтю льва (узнают)»?

4. [1, c.9] a) Доказать следующие свойства математического ожидания:

E(a),

.

b) Пусть случайная величина x имеет математическое ожидание и дисперсию . Показать, что .

5.[1, c.27] Показать, что для случайной величины z, определенной по формуле ,

где x – нормально распределенная случайная величина, – математическое ожидание случайной величины x, – стандартное отклонение, выполняются следующие соотношения:

, , .

6. [1, c.39]Найти абсциссы точек пересечения графиков функций плотности вероятности нормального распределения, имеющих математическое ожидание , дисперсии и соответственно (рис. 4.4 «Эконометрика. Учебное пособие»).

7. Высота отдельных ростков рассады распределена нормально со средней, равной 53 см, и дисперсией 12 см². В прошлом году в ящик, в котором были высажены 15 таких растений, была внесена по ошибке двойная норма удобрений. Средняя высота рассады в этом ящике достигла 55 см. Есть ли какое-либо основание полагать, что внесение повышенного количества удобрений дало положительный эффект?

8.[1, c.41] Пусть x – нормально распределенная случайная величина; – математическое ожидание случайной величины x; – стандартное отклонение; – несмещенная оценка стандартного отклонения; x₁,…, x_n – выборка объема n.

Показать, что величина распределена по Стъюденту с степенями свободы.

9.[1, c.54] Имеется выборка из 60 наблюдений по индексу доходности. При этом выборочное среднее = 1,125 %, стандартное отклонение S = 2,5 %. Каким будет 95 % доверительный интервал?

10.Для предприятий, торгующих продуктами питания, установлены показатели эффективности деятельности: уровень рентабельности товарооборота – 20% и средняя оборачиваемость запасов – 12 дней. Более низкие показатели эффективности означают снижение конкурентоспособности предприятия. В целях оперативного контроля результатов коммерческой деятельности в одной из торговых фирм проведен анализ эффективности торговых операций за последние 10 месяцев и получены данные (см. таблицу). Используя эти данные, определите, является ли эффективность коммерческой деятельности фирмы удовлетворительной, т.е. соответствуют ли полученные показатели эффективности нормативным.

Месяц	Рентабельность, %	Продолжительность товарооборота, дни

11. [1, c.11] Имеются две оценки неизвестного параметра генеральной совокупности. Обязательно ли является более эффективной та из них, которая имеет меньшую дисперсию?

12.[1, c.43] Показать, что F-критерий, используемый для сравнения двух дисперсий, подчиняется распределению Фишера.