Построить поле корреляции результата и фактора

Поле корреляции результата (общая сумма ущерба) и фактора (расстояние до ближайшей пожарной станции).

На основании поля корреляции можно сделать вывод, что между факторным (Х) и результативным (Y) признаками существует прямая зависимость.

2. Определить параметры а и bуравнения парной линейной регрессии:

где nчисло наблюдений в совокупности ( в нашем случае 10)

aиbискомые параметры

xиyфактические значения факторного и результативного признаков.

Для определения сумм составим расчетную таблицу из пяти граф, в графе 6 дадим выравненное значение y (ŷ).

В графах 7,8,9 рассчитаем суммы, которые использованы в формулах пунктов 4,5 данной задачи.

№ X Y X² XY Y² Yx (Y-Yx) (X-Xср) (Yx-Y)²

1.

2. 3,4 26,2 11,56 686,44 89,08 26,20 0,00 0,07 1,63

3. 1,8 17,8 3,24 316,84 32,04 18,70 0,81 1,76 36,68

4. 4,6 31,3 21,16 979,69 143,98 31,80 0,25 2,16 47,33

5. 2,3 23,1 5,29 533,61 53,13 21,00 4,41 0,68 15,36

6. 3,1 27,5 9,61 756,25 85,25 22,86 7,29 0,00 0,01

7. 5,5 30,25 36,00 0,00 5,61 122,76

8. 0,7 14,1 0,49 198,81 9,87 13,50 0,36 5,90 130,41

9. 22,3 497,29 66,9 24,30 4,00 0,01 0,38

10. 2,6 19,6 6,76 384,16 50,96 22,40 7,84 0,28 6,35

11. 4,3 31,3 18,49 979,69 134,59 30,40 0,81 1,36 30,03

∑ 31,3 249,2 115,85 6628,78 863,8 249,1 25,77 17,88 390,99

Коэффициент регрессии (b) показывает абсолютную силу связи между вариацией x и вариацией y. Применительно к данной задаче можно сказать, что при применении расстояния до ближайшей пожарной станции на 1 км общая сумма ущерба изменяется в среднем на 4,686 млн. руб.

Таким образом, управление регрессии имеет следующий вид:

3.
Линейный коэффициент корреляцииопределяется по формуле:

В соответствии с полученным значением коэффициента корреляции можно говорить о высокой тесноте связи между y и x, r = 0.957.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации

Это означает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора x включенного в уравнение регрессии равна 91,6%, а остальные 8,4% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии

4. Статистическую значимость коэффициента регрессии «b» проверяем с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала определяем остаточную сумму квадратов:

и ее среднее квадратическое отклонение:

Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле:

Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии «b» рассчитывается как

Полученное фактическое значение t_b сравнивается с критическим t_k , который получается по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы

Полученный коэффициент регрессии признается типичным, т.к.

Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера.

Фактическое значение критерия для уравнения определяется как

Fфакт сравнивается с критическим значением Fк, которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы:

Следовательно, при Fфакт>Fк уравнении регрессии в целом признается существенным.

5. По исходным данным полагают, что расстояние до ближайшей пожарной станции

уменьшится на 5% от своего среднего уровня

Следовательно, значения факторного признака для точечного прогноза:

а точечный прогноз :

Строим доверительный интервал прогноза ущерба с вероятностью 0,95 (L=0,05) по формуле

-табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости L=0,05 и числа степеней свободы n-2=10-2=8,

Стандартная ошибка точечного прогноза рассчитывается по формуле

Отсюда доверительный интервал составляет:

Из полученных результатов видно, что интервал от 19,8 до 28,6 млн. руб. ожидаемой величины ущерба довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, это видно из значения ,связана прежде всего с малым объемом выборки (n=10), а также тем, что по мере удаления x_k отширина доверительного интервала увеличивается.