Расчет параметров и характеристик модели множественной регрессии
Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, МНК. При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии.
Для уравнения 
система нормальных уравнений составит:
При нелинейной регрессии, приводимой к линейному виду, ее параметры также можно определить МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходной информации, а к преобразованным данным.
Ценность эконометрических моделей состоит в том, что они позволяют не только выявить связи и зависимости, выразить их на языке математики, дать экономическое истолкование параметрам, но и в том, что позволяют рассчитать ряд характеристик.
Наиболее важными из них являются следующие:
· предельная эффективность показателя-фактора;
· коэффициент эластичности;
· изокванта;
· предельная норма заменяемости одного фактора другим;
· изоклинал;
· индексы корреляции и детерминации;
· стандартная ошибка и другие.
Рассмотрим сущность и методику расчета каждого из перечисленных характеристик.
Предельная эффективность показывает - на сколько абсолютных единиц измениться результативный показатель, если данный фактор увеличиться на одну абсолютную единицу, а остальные факторы останутся неизменными. Предельная эффективность представляет собой частную производную по показателю-фактору, т.е. 
где i = 1,2,…,n.
Коэффициент эластичности показывает - на сколько процентов измениться результативный показатель, если данный показатель-фактор измениться на один процент, а остальные факторы останутся неизменными.
Формула для расчета коэффициента эластичности (Eхi) имеет вид
.
Например, для линейной 
и степенной модели 
предельная эффективность факторов х1 и х2 равна соответственно
а коэффициент эластичности
.
Следует обратить внимание на следующие частные случаи:
- в случае линейной зависимости предельная эффективность фактора равна коэффициенту регрессии, т.е. 
- в случае зависимости степенного вида коэффициент эластичности показателя-фактора равен коэффициенту регрессии, т.е. 
, i=1,2,…,n .
Изокванта, предельная норма заменяемости одного фактора другим, изоклинал - характеристики, рассчитываемые только для многофакторных моделей.
Изоквантой называют множество сочетаний значений показателей-факторов, при которых результативный показатель принимает одно и тоже значение. Чтобы найти изокванту надо:
- принять Y за константу (Y= const);
- выразить один из факторов через остальные.
Например, для 
изоквантой является
или 
.
Для каждой эконометрической модели можно построить «семейство» изоквант.
Предельная норма заменяемости одного фактора другим позволяет- определить, сколько единиц одного фактора требуется для замены одной единицы другого фактора. Чтобы рассчитать предельную норму заменяемости надо:
- найти изокванту;
- определить частную производную одного фактора по другому, т.е. ¶Хl/¶Хk, где l≠k , l и k Î i = 1,2,…,n.
Например, для 
предельная норма заменяемости составляет 
; 
.
Изоклинал – это множество сочетаний значений показателей-факторов, при которых предельная норма заменяемости принимает одно и тоже значение. Чтобы найти изоклинал, надо:
- найти предельную норму заменяемости;
- принять предельную норму заменяемости за константу 
- выразить один из факторов через остальные.
2.3.3. Частные уравнения множественной регрессии. Индексы множественной и частной корреляции и их расчет
На основе линейного уравнения множественной регрессии 
могут быть найдены частные уравнения регрессии:
т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами хi при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. В случае линейной регрессии частные уравнения имеют следующий вид:
Подставляя в эти уравнения средние значения соответствующих факторов получаем систему уравнений линейной регрессии, т.е. имеем:
где 
Частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на низменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии (Аi).Это позволяет на основе частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности
На основании данной информации могут быть найдены средние по совокупности показатели эластичности: 
.
Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента детерминации. Показатель множественной корреляции характеризует тесноту совместного влияния факторов на результат.
Независимо от вида уравнения индекс множественной корреляции рассчитывается по формуле:
где 
- общая дисперсия результативного признака,
- остаточная дисперсия для уравнения 
.
Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.
Для расчета индекса множественной корреляции можно пользоваться и следующей формулой:
где у - фактические значения результативного показателя;
- значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению регрессии;
- среднее арифметическое значение результативного показателя.
Сравнивая индексы множественной регрессии и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора. В частности, если дополнительно включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множественной корреляции практически совпадает с индексом парной корреляции.
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.
Рассмотрим пример. Пусть зависимость объема продукции у от затрат труда х 
задается уравнением:
Допустим, что дополнительный фактор х2- техническая оснащенность производства – преобразовал уравнение к виду:
.
Тогда остаточные дисперсии 
для этих уравнений определяются соответственно следующими формулами:
; 
.
Предположим, что 
; 
.
Уменьшение остаточной дисперсии за счет дополнительного включения фактора x2 составит:
.
Чем больше доля полученной разности в остаточной вариации, тем теснее связь между у и x2 , при неизменности действия фактора x1
Величина, рассчитываемая формулой:
называется индексом частной корреляции для фактора х2:
Аналогично определяется индекс частной корреляции для фактора x1.
.
Если в нашем примере предположить, что 
, то частные коэффициенты корреляции составят: 
; 
. На их основе можно делать вывод: более сильное воздействие на объем продукции оказывает техническая оснащенность предприятий.
В общем случае при наличии р факторов формула для расчета индекса частной корреляции имеет вид:
где 
- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом,
- тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора xj.
Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F - критерия Фишера:
где R2 - коэффициент (индекс) множественной детерминации;
m - число параметров при переменных х;
n - число наблюдений.
Если оценивается значимость влияния фактора хi в уравнении регрессии, то определяется частный F - критерий:
Значимость коэффициентов чистой регрессии производится по t - критерию Стьюдента.
Если до сих пор в качестве факторов мы рассматривали только экономические переменные, принимающие количественные значения, то возможно, может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровней. Например, такие атрибутивные признаки как профессия, пол, образование климатические условия и т.д. имеют несколько качественных уровня. Чтобы ввести такие переменные в модель необходимо их преобразовать в количественные переменные. Переменные такой конструкции называются фиктивными.
Рассмотрим пример. Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены.
В общем виде данное уравнение имеет вид: 
,
где y - количество потребляемого кофе, x - цена.
Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского пола:
;
женского пола:
.
Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних `у1 и`у2. Вместе с тем сила влияния х на у может быть одинаковой, т.е. 
.
В этом случае можно ввести общее уравнение регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной:
где z1, z2 – фиктивные переменные.
Рассмотренная модель с фиктивными переменными, выступающими как факторы, обладает наибольшими прогностическими возможностями. Однако на практике может возникнуть необходимость построения модели, в которой фиктивная переменная должна играть роль результата. Подобного рода модели применяются в социологии, при обработке данных социологических опросов. В качестве у - рассматриваются ответы на вопросы, данные в альтернативной форме: «да» или «нет», т.е. зависимая переменная у, имеет два значения 1 - («да») и 0 - («нет»).