Распределение Гаусса

который называют нормированной функцией Лапласа. В таблице, содержащей значения функции Лапласа, приведены доверительные вероятности только для положительных значений u, поскольку нормированное нормальное распределение симметрично. Для нахождения доверительной вероятности того, что случайная величина (случайная погрешность) попадет в заданный интервал, табличные значения вероятности следует увеличить вдвое. Так, можно показать, что если случайная погрешность при многократном измерении не превышает соответственно ±s, ±2s и ±3s, то доверительные вероятности равны 0,6826; 0,9544 и 0,9973. Т.к. u= (х - m)/s, то рассматриваемые интервалы составляют u=±1, u=±2, u =±3.

Благодаря функции Лапласа можно рассчитать доли брака и выхода годной продукции в зависимости от степени рассеяния контрольного показателя продукции и относительного положения значения математического ожидания и границ поля допускаемых отклонений.

Последовательность вычислений при этом такая:

1. Рассчитывают математическое ожидание генеральной совокупности или среднее арифметическое выборки m.

2. Рассчитывают стандартное отклонение результата измерения.

3. Находят границы допусков (х_max, x_min) и вычисляют расстояния между математическим ожиданием и границами допусков (х_max - m) и (x_min - m.).

4.Выражают в долях стандартного отклонения положение границ поля допуска, т.е. расстояние между математическим ожиданием и границами поля допусков (u). u* = (x_min - m.)/s, u** =(х_max - m)/s

5. По таблицам функции Лапласа находят вероятности Р* и Р**, соответствующие значениям u* и u**. Величина Р* + Р** соответствует доле годного продукта, находящегося в заданных пределах.

6. Брак составит: a = 1 - Р* - Р**.

t - распределение.

t- распределение характеризует степень приближения параметров выборки к генеральной совокупности (нормальному распределению) в зависимости от числа степеней свободы f = n - 1, где n - число измерений, равное числу параллельных проб.

Чем меньше число степеней свободы, тем менее надежной характеристикой генеральной дисперсии s² является выборочная дисперсия S². При нормальном распределении появление больших погрешностей менее вероятно, чем малых, поэтому при уменьшении числа параллельных проб вероятность появления больших погрешностей уменьшается. Не учет этого приводит к необъективному, заниженному значению погрешности. Эта ненадежность, связанная с числом определений (параллельных проб), учитывается t-распределением Стьюдента, в котором предусматривается большая вероятность появления больших погрешностей, а малых меньше, чем в нормальном распределении.

Как и нормальное распределение, t-распределение симметрично и имеет максимум при том же значении абсциссы, при котором он был при нормальном распределении. Однако такие характеристики кривой t-распределения, как высота и ширина, зависят от числа степеней свободы, т.е. от числа измерений.

При f ® ¥ t-распределение переходит в нормальное распределение. Практически эта разница становится малозаметной уже при f ³ 20.