Решение
Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
Таблица 3.1.
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
1.Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров (3.3) либо воспользоваться готовыми формулами (3.4).
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
Находим по формулам (3.4) коэффициенты чистой регрессии и параметр a :
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Уравнение регрессии показывает, что при увеличении ввода в действие основных фондов на 1% (при неизменном уровне удельного веса 36 рабочих высокой квалификации) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,946 тыс. руб., а при увеличении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% (при неизменном уровне ввода в действие новых основных фондов) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,086 тыс. руб.
После нахождения уравнения регрессии составим новую расчетную таблицу для определения теоретических значений результативного признака, остаточной дисперсии и средней ошибки аппроксимации.
Таблица 3.2.
Остаточная дисперсия:
Средняя ошибка аппроксимации:
Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдению, признается хорошим, т.к. средняя ошибка аппроксимации не
превышает 10%.
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формуле (3.7):
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности (3.8):
Вычисляем:
Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат y фактора , чем фактора .
2.Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определить через матрицы парных коэффициентов корреляции (3.9):
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Находим:
Коэффициент множественной корреляции:
Аналогичный результат получим при использовании формул (3.8) и (3.10).
Коэффициент множественной корреляции указывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.
3.Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю дисперсии результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.
Скорректированный коэффициент множественной детерминации (3.12)
определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 94%) детерминированность результата y в модели факторами и .
4.Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F -критерий Фишера:
В нашем случае фактическое значение F -критерия Фишера:
Получили, что факт табл (при n = 20), т.е. вероятность случайно получить такое значение F -критерия не превышает 41 допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .
5.Оценим статистическую значимость параметров чистой регрессии с помощью t -критерия Стьюдента. Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формулам (3.19) и (3.20):
Фактические значения t -критерия Стьюдента:
Табличное значение критерия при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы k=17 составит . Таким образом, признается статистическая значимость параметра , т.к. , и случайная природа формирования параметра , т.к. .
Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:
6.С помощью частных F -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул (3.16):
Найдем и :
Имеем:
Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.
Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного F -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта = 0,05 (5%). Следовательно, значение частного F -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .
7.Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с =0,947 содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:
Найдем его параметры:
Таким образом:
return false">ссылка скрыта