Конечные разности в одномерном случае

Предположим, что решается просто одномерная краевая задача, т.е. требуется определить функцию j(х), удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению на отрезке 0 £ х £ L_x вместе с надлежащими краевыми условиями при х = 0 и х = L_x. как было только что показано, типичным примером такого рода задачи является задача вычисления распределения температуры j(х) в плите толщиной L_x из материала с коэффициентом теплопроводности к; на плоскостях х = 0 и х = L_x, ограничивающих плиту, сохраняются заданные значения температуры и соответственно, и в плите генерируется тепло со скоростью Q(x) на единицу толщины. Дифференциальное уравнение для этой задачи является уравнением (1.9), которая при предположении, что теплопроводность материала постоянно, сводится к уравнению

Соответствующие краевые условия задаются равенствами вида (5) и могут быть записаны в виде

,

Для решения этой задачи методом конечных разностей, прежде всего, производится дискретизация независимой переменной х, т.е. строится множество (или сетка) L+1 дискретных равноотстоящих точек х_l (l=0, 1, 2,…,L) на отрезке 0 £ х £ L_x х₀=0, х_L=L_x и х_l+1-x_l= x.

Следующий шаг состоит в замене в дифференциальном уравнении членов, содержащих дифференцирование членами, в которых используется только алгебраические операции. Этот процесс по необходимости включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования конечно-разностных аппроксимаций для производных функции.

 

Конечно-разностные аппроксимации производных.

Основная идея метода заключается в замене частных производных их разностными аналогами. Рисунок 2 (графическая интерпретация некоторых конечно-разностных аппроксимаций для производных).

Рисунок 2.

 

- правая схема

- левая схема

 

- центральная схема

 

Получение разностных аналогов:

(1)

(2)

Центральная разность (1) - (2):