Тема 2.1 Численные методы решения тепловой задачи. Метод конечных разностей
Лекция 9
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Контрольные вопросы
1) Приведите классификацию полевых транзисторов.
2) Чем отличаются структуры полевых транзисторов с управляющим p – n переходом и МОП транзисторов?
3) Какие виды МОП транзисторов бывают и чем они отличаются?
4) Покажите передаточные характеристики транзистора с управляющим p – n переходом и МОП транзисторов со встроенным и индуцированным каналом.
5) Что такое напряжение отсечки и пороговое напряжение.
6) Чем ограничивается ток стока транзистора с управляющим p – n переходом и МОП транзисторов?
7) Чему равно максимальное напряжение затвор – исток для n – канального транзистора с управляющим p – n переходом?
8) Покажите выходные характеристики полевого транзистора.
9) Как можно рассматривать выходные характеристики полевых транзисторов при малых напряжениях сток – исток?
1. Гусев В.Г., Гусев Ю.М. Электроника.-М.: Высш.шк.1991.-622с.
2. Завадский В.А. Компьютерная электроника. К.: ВЕК, 1966.-368 с.
3. Степаненко И.П. Основы теории транзисторов и транзисторных схем. М.: Энергия. 1977.- 607с.
4. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Пер. с нем.- М.: Мир. 1982.- 673с.
5. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники. М.: Мир, 1983.- т.1, т.2.
6. Разевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования MICRO – CAP V.-M.:"СОЛОН". 1977.-273с.
Многие математические модели описываются дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений с краевыми условиями первого, второго и третьего рода. Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток.
Основная идея построения модели на основе интегральных уравнений заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям.
Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.
Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных, в общем случае, алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.
Рассмотрим представленную на рис 1.а. задачу распространения тепла в двумерной области W.
Рисунок 1.а.
Если потоки тепла в направлении осей x и y на единицу длины за единицу времени обозначены через qx и qy соответственно, то разность D между исходящим и входящим потоками для элемента размера dx и dy задается выражением:
(1)
Для сохранения энергии эта величина должна быть равна сумме тепла, генерируемого в элементе за единицу времени dt, например, Qdxdy, где Q может изменяться в зависимости от координат и времени, и тепла, освобождаемого за единицу времени , а именно – , где с – удельная теплоемкость, р – плотность и j(x, y, t) – распределение температуры. Ясно, что это требование равенства ведет к дифференциальному соотношению:
(2)
Соотношение выполняется во всей области W, где решается задача.
Вводя теперь физический закон, определяющий поток тепла в изотропной среде, можно записать для компоненты потока в произвольном направлении n:
(3)
где к – коэффициент теплопроводности, характеризующий свойства среды. В частности, для изотропного материала по направлениям x и y выполняются равенства
, (4)
Соотношение (2) и (4) определяют систему дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую задачу; теперь эти уравнения нужно решить относительно трех зависимых переменных qx, qy и j.
Для такого решения необходимо задать начальные условия, например, в момент времени t=t0 (например, в этот момент времени всюду в W может быть задано распределение температуры), и граничные условия на границе Г области решения задачи, в качестве которых, как правило, могут быть использованы два различных типа условий.
В случае первого условия, скажем применяемого на участке границы Гj, задаются значения температуры (x, y, t), т.е
на (5)
Граничные условия этого вида часто называют граничными условиями Дирихле.
В случае второго условия, применяемого на остальной части границы Гq, задаются значения потока тепла (x, y, t) в направлении нормали к границе n тогда можно записать
на , (6а)
Или
на , (6б)
Этот тип краевого условия часто называется граничными условиями Неймана.
Теперь задача полностью определена уравнениями(2), (4), (5) и (6), и решением этой системы уравнений в принципе можно получить числа, представляющие распределения для j, qx и qy в любой момент времени.
Данную задачу можно записать в иной форме, исключив при помощи уравнений(4) величины qx и qy из уравнения (2) и получив в результате дифференциальное уравнение более высокого порядка с одной независимой переменной, а именно уравнение
,
для которого опять требуется задать начальные и краевые условия.
Выше была рассмотрена задача, определенная в пространственно- временной области и требующая задания начальных условий. Независимыми переменными здесь были x, y и t. Если предполагаются стационарные условия (т.е., задача не зависит от времени и, следовательно,), то уравнения (2) и (7) упрощаются. В последнем случае имеет место уравнение
, (8)
для решения, которого требуется только задать краевые условия вида (5) и (6).
Хотя основные уравнения были записаны для двумерного случая, их легко распространить на трехмерный случай, чтобы иметь возможность иметь дело с более общими задачами. С другой стороны в некоторые задачи входит только одна независимая переменная; на рис 1.б., например, рассматривается поток тепла через плиту, на которых условия не меняются по у.
Рисунок 1.б.
Тогда из уравнения (8) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
,
А областью «определения задачи» является отрезок 0 £ х £ Lx.