Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций

Принимая во внимание полученные ранее формулы Маклорена для функций можем записать ряды для этих функций и найти их области сходимости.

1. Функция . Ряд Маклорена имеет вид

Найдем радиус сходимости ряда

Область сходимости ряда .

2. Функция . Ряд Маклорена имеет вид

где - остаточный член, записанный в данном случае в форме Пеано. Запись означает, что функция является бесконечно малой по сравнению с функцией .

Найдем радиус сходимости этого ряда

Область сходимости ряда .

3. Функция . Ряд Маклорена имеет вид

где - остаточный член. Здесь нумерация членов ряда начинается с n = 0.

Радиус сходимости

Область сходимости ряда .

Пример 9.5.Разложить в ряд по степеням х функцию .

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов, запишем

Пример 9.6.Будем считать справедливым разложение функции в ряд Маклорена при мнимом показателе , т. е.

Здесь - мнимая единица. Так как и т. д., то

Сгруппируем действительные и мнимые члены этого ряда, получим

Отсюда получаем известную формулу Эйлера

4. Получим разложение по степеням х для функции .

Данная функция удовлетворяет уравнению ,

т. е. или

Будем искать разложение функции по степеням х в виде

Продифференцируем почленно этот ряд

и подставим и в уравнение , получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого уравнения; при этом учтем, что при ,

т. е. .

При : ;

При : .

При :

Далее, приравнивая коэффициенты при , можно получить . Тогда при :

Таким образом, получаем разложение функции .

Найдем радиус сходимости этого ряда

Интервал сходимости ряда .

На основании теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости любой степенной ряд в интервале сходимости является равномерно сходящимся. Поэтому ряд составленный из интегралов членов такого ряда сходится к интегралу от суммы этого ряда. Используем это свойство для получения разложений в степенной ряд функций:

и .