Теорема Вейерштрасса

Равномерная сходимость функциональных рядов.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся к сумме в области G, если при сколь угодно малом значении существует такое число , что если , то для любого х из области сходимости ряда G ()

.

Теорема 9.1. (Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда).

Если члены функционального ряда на отрезке не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов знакоположительного сходящегося числового ряда , т. е. , то ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Равномерно сходящиеся ряды обладают рядом важных свойств.

Свойство 1. Если члены ряда определены и непрерывны на отрезке и ряд сходится равномерно к сумме, то эта сумма является непрерывной функцией на этом отрезке.

Свойство 2. Если члены ряда являются непрерывными функциями на отрезке и ряд сходится равномерно к сумме, то его можно почленно интегрировать; причем ряд составленный из интегралов его членов равномерно сходится к интегралу суммы ряда, т. е.

.

Свойство 3. Если члены ряда являются непрерывными функциями на интервале , имеют непрерывные производные на этом интервале и ряд сходится равномерно к сумме, то его можно почленно дифференцировать; причем ряд составленный из производных его членов равномерно сходится к производной суммы ряда, т. е.

.